Problema de disfraces

A continuación se plantea un problema de disfraces que da lugar a un sistema de dos ecuaciones lineales, el cual se resuelve primero de manera gráfica y después de manera algebraica, para observar la relación entre estos dos procedimientos se facilita su comprensión con un esquema de cuatro pasos que se conoce como Método de suma o resta, a continuación revísalo.

Todos los alumnos del grupo 0141 del CCH se preparan para ir a una fiesta de disfraces. El disfraz para cada hombre cuesta 60 pesos y el disfraz para cada mujer cuesta 90 pesos. Si en el grupo hay 45 alumnos entre hombres y mujeres, y pagan 3,300 pesos por todos los disfraces ¿cuántos hombres y cuántas mujeres van a la fiesta?

disfraces
Planteamiento
Si representamos por: Se tiene lo siguiente:

$x$: el número mujeres.

$y$: el número de hombres.

$90x$ es la cantidad de dinero en pesos que se paga por los disfraces de las mujeres.

$60y$ es la cantidad de dinero en pesos que se paga por los disfraces de los hombres.


El sistema de ecuaciones que cumple las condiciones del problema y cuya solución nos lleva a resolverlo es:

$x+y=45$   Ec. 1

$90x+60y=3300$   Ec. 2


La solución del sistema está dada por la solución común de las dos ecuaciones, es decir, los valores de $x$, $y$ que cumplen con las dos ecuaciones a la vez.

1. Solución gráfica

Esta solución del sistema se obtiene de las gráficas de las ecuaciones construidas en un mismo plano cartesiano. Por medio de una tabulación para cada una de las ecuaciones, se obtienen las coordenadas de los puntos a partir de los cuales se construye la gráfica respectiva. Es importante señalar que las coordenadas ($x$, $y$) de cada punto representan una solución de la ecuación correspondiente.

Para hacer una tabulación se puede despejar $y$ de la ecuación, sustituir en ella los valores de $x$ que se deseen para obtener los puntos ($x$, $y$) que cumplen la ecuación y graficar éstos en un sistema cartesiano, como se mostrará posteriormente.

La solución del sistema está dada por la solución común de las dos ecuaciones: los mismos valores de $x$, $y$ que cumplen con las dos ecuaciones a la vez. Las coordenadas del punto de intersección de las gráficas resultante es la solución del sistema.

A continuación revisa cada uno de los pasos de esta solución gráfica dando clic en las pestaña.

Tabulación de la ecuación Ec. 1

De la Ec. 1 se despeja $y$:

$x+y=45$ Ec. 1

$x+y-x=45-x$

$y=45-x$ Ec. 1'


Por lo que los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 1' se expresan como:

$A=(x,y)=(x,45-x)$


Para saber los valores de $y=45-x$, se sustituye el valor de $x$ como se muestra a continuación:

$x=0,y=45-x=45-0=45$ Se obtiene el punto ($0,45$)

$x=10,y=45-10=35$ Se obtiene el punto ($10,35$)

$x=20,y=45-20=25$ Se obtiene el punto ($20,25$), etc.

Practicando

De esta manera se obtiene la siguiente tabla, obsérvala y completa los valores y puntos que faltan. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.
$y=45-x$
Valores de $x$ Valores de $y$ Puntos
$0$ $45$ ($0,45$)
$10$ $35$ ($10,35$)
$20$ $25$ ($20,$$25$)
$30$ $15$ ($30$,$15$)
$40$ $5$ ($40$,$5$)
$45$ $0$ ($45$,$0$)
Los valores de $x$, $y$ son los que dan la referencia para las coordenadas de los puntos.

Tabulación de la ecuación Ec.2

De la Ec. 2 se despeja $y$:

$90x+60y=3300$ Ec. 2

$90x+60y-90x=3300-90x$ (se resta $90x$ a los dos lados de la ecuación)

$60y=3300-90x$ (se simplifica)


$\frac{60y}{60}=\frac{3300-90x}{60}$ (se divide entre 60 los dos lados de la ecuación)

Ec. '2 $y=55-1.5x$ (se simplifica $\frac{3300-90x}{60}=\frac{3300}{60}=\frac{90x}{60x}=55-1.5x$)

Por lo que los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec.2 se expresan como:

$B=(x,y)=(x,55-1.5x)$

Para $x=0,$   $y=55-1.5(0)=55-0=55$ Se obtiene el punto ($0,55$)

$x=10,$   $y=55-1.5(10)=55-15=40$ Se obtiene el punto ($10,40$)

$x=20,$   $y=55-1.5(20)=55-30=25$ Se obtiene el punto ($20,25$), etc.

Practicando

De esta manera se obtiene la tabla 2, obsérvala y completa los valores y puntos que faltan. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.
$y=55–1.5x$
Valores de $x$ Valores de $y$ Puntos
$0$ $55$ ($0,55$)
$10$ $40$ ($10,40$)
$20$ $25$ ($20,$$25$)
$30$ $10$ ($30$,$10$)

Solución gráfica del sistema

geogebra

A continuación revisa el siguiente recurso GeoGebra sobre la Solución gráfica del problema de disfraces en el que observarás las diferentes coordenadas de los puntos A y B que cumplen con cada una de las ecuaciones del sistema, así como el punto de intersección de las gráficas para dar con la solución.

Observa que solo la parte continua de las rectas tiene sentido en el problema, ya que tanto $x$: el número mujeres que van a la fiesta como $y$: el número de hombres que van a la fiesta deben ser ambos positivos.

Solución y comprobación del problema

Finalmente se da la respuesta al problema que se propuso resolver, utilizando la solución gráfica del sistema con el significado que se dio a las incógnitas y al comprobar que el problema mismo se resolvió correctamente:

$x$: el número de mujeres que van a la fiesta

$y$: el número de hombres que van a la fiesta

La solución gráfica del sistema de la ecuación es: $x=20$, $y=25$
20 mujeres y 25 hombres que van a la fiesta

Comprobación del problema:

Se verifica que la respuesta dada cumpla con las condiciones del problema, porque puede suceder que se resuelvan las ecuaciones muy bien pero el problema no, por algún error que se haya cometido en el planteamiento.

$20+25=45$ Se cumple que son 45 alumnos en el grupo.

$90(20)+60(25)=1800+1500=3300$ Se cumple que se paga 3300 pesos por todos los disfraces.

Por lo que se concluye que la respuesta dada al problema es correcta.

2. Solución algebraica. Método de Suma o Resta

Ahora revisarás la solución del sistema de ecuaciones del problema de disfraces de manera algebraica por el Método de Suma o Resta.

$x+y=45$   Ec. 1

$90x+60y=3300$   Ec. 2

La solución del sistema está dada por la solución común de las dos ecuaciones, es decir, los mismos valores de $x$ e $y$ que cumplan con las dos ecuaciones a la vez.

Para determinar la solución del sistema por el Método de Suma o Resta seguirás estos cuatro pasos, da clic en cada pestaña:

Multiplicación de cada ecuación

Se debe multiplicar cada ecuación por números que igualen los coeficientes de una misma incógnita en las dos ecuaciones para eliminar una de las incógnitas. Al hacer esto se obtienen ecuaciones equivalentes a las originales que, al sumarlas o restarlas, conllevan la eliminación de esa incógnita y se obtiene una ecuación con la otra incógnita solamente.

Una forma de lograr esto, para igualar los coeficientes de $y$, es multiplicar la Ec. 1 por el coeficiente $60$ de $y$ de la Ec.2 y multiplicar la Ec.2 por el coeficiente $1$ de $y$ de la Ec.1 como se hace a continuación:

De la Ec.1 $60(x+y=45)$ se obtiene $60x+60y=2700$ Ec.1’

De la Ec.2 $1(90x+60y=3300)$ se obtiene $90x+60y=3300$ Ec.2’

ecuaciones originales

Sumar o restar las ecuaciones

Se suman o se restan las ecuaciones Ec.1’ y Ec.2’ para eliminar una de las incógnitas. En este caso se restan algebraicamente para eliminar la incógnita $y$, con lo que se obtiene una ecuación con solamente la otra incógnita Ec.3 y se resuelve:

ecuación

$-30x=-600$ Ec.3

$\frac{-30x}{-30}=\frac{-600}{-30}$ (se divide entre -30 ambos lados)

$x=20$ (se simplifica)

Sustituir valores

Se sustituye el valor encontrado $x=20$ en cualquiera de las ecuaciones que tiene las dos incógnitas, para encontrar el valor de la otra incógnita.

Sustituyendo en x=20 Ec. 1 Sustituyendo en x=20 Ec. 2

$x+y=45$

$20+y=45$

$20+y-20=45-20$

$y=25$

$90x+60y=3300$

$90(20)+60y=3300$

$1800+60y=3300$

$1800+60y-1800=3300-1800$

$60y=1500$

$\frac{60y}{60}=\frac{1500}{60}$

$y=25$

Observa que se obtiene el mismo valor que en Ec. 1

Comprobación

Sustituye la solución encontrada $x=20$, $y=25$ en cada una de las dos ecuaciones originales para verificar que se cumpla la igualdad.

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.

$x+y=45$ Ec.

$20$$+$$25$$=45$

$45=45$

$90x+60y=3300$ Ec. 2

$90($$20$$+60($$25$$)=3300$

$1800+$$1500$$=3300$

$3300$$=$$3300$

Como en cada una de las dos ecuaciones del sistema se cumple la solución encontrada $x=20$, $y=25$, se confirma que la solución es correcta.

Es necesario verificar la solución en cada una de las dos ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta, ya que puede suceder que la solución encontrada solo se cumpla en una ecuación y en no en la otra.

Con la comprobación dada en este paso se termina de resolver correctamente el sistema de ecuaciones del problema de disfraces por el Método de Suma o Resta.

Observa que se encontró la misma solución que con el método gráfico: $x=20$, $y=25$

Alumno: