Decimales

Las fracciones son números racionales, y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes. Al dividir el numerador entre el denominador de las siguientes expresiones podemos observar que todas son un medio equivalente a 0.5 (el denominador es el doble del numerador).

$$ \frac 1 2 = \frac 3 6 = \frac {17} {34} = \frac {50} {100} = … = 0.5 $$

Esta es otra forma para representar a los números racionales, se obtiene al aplicar la operación de la división, por ejemplo, con una calculadora. Al realizar la operación obtenemos una representación con punto decimal.

Para comprender cómo se representan algunas fracciones con su escritura decimal, realiza lo que se te pide a continuación.

Practicando

En la siguiente tabla se presentan una serie de fracciones. Completa la tabla realizando la división correspondiente en tu cuaderno y escribe el resultado en el espacio indicado (utiliza un máximo de doce decimales).
Al finalizar haz clic en el botón verificar para obtener retroalimentación.

Para revisar tus respuestas debes completar el ejercicio.
Fracciones Resultados de la división
$ \frac {1} {1} $ $ \color{Blue} = 1 $
$ \frac {1} {2} $ $ \color{Blue} = 0.5 $
$ \frac {1} {3} $ $ = 0.\overline{3}{\color{darkblue}{33333333333...}} $
$ \frac {1} {4} $ $ \color{Blue} = 0.25 $
$ \frac {1} {5} $ $ \color{Blue} = 0.2 $
$ \frac {1} {6} $
$ = 0.1\overline{6}{\color{lightseagreen}{6666666666...}} $
$ \frac {1} {7} $ $ = 0.\overline{142857}{\color{darkblue}{142857...}} $
$ \frac {1} {8} $ $ \color{Blue} = 0.125 $
$ \frac {1} {9} $ $ = 0.\overline{1}{\color{darkblue}{11111111111...}} $
$ \frac {1} {10} $
$ \color{lightseagreen} = 0.1 $
$ \frac {1} {11} $ $ = 0.\overline{09}{\color{darkblue}{0909090909...}} $
$ \frac {1} {12} $
$ = 0.08\overline{3}{\color{lightseagreen}{333333333...}} $
$ \frac {1} {13} $ $ = 0.\overline{076923}{\color{darkblue}{076923...}} $
$ \frac {1} {14} $
$ = 0.0\overline{714285}{\color{lightseagreen}{714285...}} $
$ \frac {1} {15} $ $ = 0.0\overline{6}{\color{darkblue}{6666666666...}} $
$ \frac {1} {16} $ $ \color{Blue} = 0.625 $
$ \frac {1} {18} $
$ = 0.0\overline{5}{\color{lightseagreen}{5555555555...}} $
$ \frac {1} {20} $
$ \color{lightseagreen} = 0.05 $
$ \frac {1} {25} $
$ \color{lightseagreen} = 0.04 $

Ahora vamos a analizar algunos casos específicos de la tabla. Observa las operaciones que se realizan:

divisiones

A partir de la tabla que completaste podemos ver dos formas distintas de representar una fracción, da clic en cada pestaña para revisarlas:

Una representación decimal “terminal” con un número finito de dígitos, como en estos casos de la tabla:

$ \frac {0} {1} $ $ \color{Blue} = 0 $

$ \frac {1} {1} $ $ \color{Blue} = 1 $

$ \frac {1} {2} $ $ \color{Blue} = 0.5 $

$ \frac {1} {4} $ $ \color{Blue} = 0.25 $

$ \frac {1} {5} $ $ \color{Blue} = 0.2 $

$ \frac {1} {8} $ $ \color{Blue} = 0.125 $

$ \frac {1} {10} $ $ \color{Blue} = 0.1 $

$ \frac {1} {16} $ $ \color{Blue} = 0.0625 $

$ \frac {1} {20} $ $ \color{Blue} = 0.05 $

$ \frac {1} {25} $ $ \color{Blue} = 0.04 $

Seguramente, algunas divisiones te son conocidas, por ejemplo:

  •   Al dividir entre 2, sabemos que si el número es impar quedará «.5» al final de la división y «.0»
  •   Al dividir entre 5, aparecerá al final «.0», «.2», «.4», «.6» y «.8».
  •   Al dividir entre 10, “se recorre el punto decimal” y se obtiene al final: «.0», «.1», «.2», «.3», «.4», «.5», «.6», «.7», «.8» y «.9».

Una representación decimal con una serie que se repite infinitamente, como en estos casos de la tabla:

$ \frac {1} {3} $ $ = 0.\overline{3}{\color{Gray}{33333333333...}} $

$ \frac {1} {6} $ $ = 0.1\overline{6}{\color{Gray}{6666666666...}} $

$ \frac {1} {7} $ $ = 0.\overline{142857}{\color{Gray}{142857...}} $

$ \frac {1} {9} $ $ = 0.\overline{1}{\color{Gray}{11111111111...}} $

$ \frac {1} {11} $ $ = 0.\overline{09}{\color{Gray}{0909090909...}} $

$ \frac {1} {12} $ $ = 0.08\overline{3}{\color{Gray}{333333333...}} $

$ \frac {1} {13} $ $ = 0.\overline{076923}{\color{Gray}{076923...}} $

$ \frac {1} {14} $ $ = 0.0\overline{714285}{\color{Gray}{714285...}} $

$ \frac {1} {15} $ $ = 0.0\overline{6}{\color{Gray}{6666666666...}} $

$ \frac {1} {18} $ $ = 0.0\overline{5}{\color{Gray}{5555555555...}} $

Por ejemplo, al dividir 1 entre 3 obtenemos como resultado 0.3333333333… y sabemos que el número 3 se repetirá indefinidamente y al 3 se le conoce como serie periódica. A la serie periódica suele representarse con una línea horizontal en la parte superior de la serie que se repite: $ \frac{1}{3}=0.33333333...= 0.\overline{3} $ Seguramente, algunas divisiones te son conocidas, por ejemplo:

  •   Al dividir entre 3, como parte decimal o fraccionaria puede quedar «.333333333…» y «.66666666…» o «.0»; el cero es el resultado de dividir un numerador que es múltiplo del denominador. Las representaciones periódicas se representan como: $ 0.\overline{3} $ y $0.\overline{6} $.
  •   Al dividir entre 9, aparecerá al final «.11111111…», «.22222222…», «.333333333…», «.44444444…», «.55555555…», «.66666666…», «.77777777…», «.88888888…» o «.0». El cero es el resultado de dividir un numerador que es es múltiplo del denominador. Las representaciones periódicas se representan como: $ 0.\bar{1}, 0.\bar{2}, 0.\bar{3}, 0.\bar{4}, 0.\bar{5}, 0.\bar{6}, 0.\bar{7},$ y $0.\bar{8} $.

Hay otras que no son tan obvias o conocidas:

  •   Al dividir entre 7: $ \frac 1 7 $ genera una secuencia: $ = 0.\overline{142857}{\color{Gray}{142857...}} $, implica seis dígitos que se repiten periódicamente; su representación periódica es $ 0.\bar{142857} $.
  •   Al dividir entre 11: $ \frac{1}{11} = $ genera una secuencia: $ = 0.\overline{09}{\color{Gray}{0909090909...}} $, implica sólo dos dígitos que se repiten periódicamente; su representación periódica es $ 0.0\bar{9} $.
  •   Hay otras más complicadas de identificar como $ \frac 1 {17} , \frac 1 {19} , \frac 1 {23} $,..., que generalmente corresponden cuando aparece un número primo.

Estas representaciones se conocen como series periódicas puras, ya que toda la parte decimal se repite indefinidamente.

Algunas series inician con una parte fija y después aparece una secuencia periódica, por ejemplo $ \color{Orange}0.1\color{Green}6\color{Gray}666666... $, inicia con “0.1” y después continúa una serie infinita de números “6”

Practicando

Resuelve las siguientes fracciones indicando en la segunda columna la cifra con la que empiezan (coloca el entero y hasta un decimal). En la tercera columna escribe la sección periódica. Al finalizar haz clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.
Fracción Empieza con Sección periódica Retroalimentación
$ \frac{1}{12} = $
0.0
3
$ \tfrac{1}{12} = \color{Gold}{0.08}{\color{Green}{\overline{3}}}{\color{Gray}{333333333...}} $
$ \frac{1}{14} = $
0.0
714285
$ \tfrac{1}{14} = \color{Gold}{0.0}{\color{Green}{\overline{714285}}}{\color{Gray}{714285...}} $
$ \frac 1 {15} = $
0.0
6
$ \tfrac{1}{16} = \color{Gold}{0.0}{\color{Green}{\overline{6}}}{\color{Gray}{66666666...}} $

Todos los números racionales pueden representarse con una cantidad finita de decimales o bien a través de una serie infinita. Al igual que se representan las unidades (1), decenas (10), centenas (100), etcétera desde el punto decimal hacia la izquierda de un número entero; hacia la derecha, se tendrán décimas (0.1 = $ \frac {1}{10} $ ), centésimas (0.01 = $ \frac {1}{100} $ ), milésimas (0.001 = $ \frac {1}{1000} $ ), etcétera.

Por ejemplo, la cantidad 0.125 se representa por la suma: $ \frac 1 {10} + \frac 2 {100} + \frac 5 {1000} = 0.1 + 0.02 + 0.005 = 0.125 $, una décima más dos centésimas más cinco milésimas o simplemente como 125 milésimas (125/1000) y tiene algunas fracciones equivalentes hasta llegar a la más simple que es un octavo ($ \frac 1 8 $). Comprueba que son fracciones equivalentes porque tienen representaciones iguales al realizar las divisiones y obtener su forma decimal $ \frac {125} {1000} = \frac 1 8 = 0.125 $

En conclusión, el valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador.

Alumno: