Ecuación lineal/ 2 variables

Sistema de ecuaciones lineales de dos variables

Se presenta un problema cuya solución se encuentra a través de un sistema de dos ecuaciones lineales, tanto de manera gráfica como con el método de igualación.

Tarifas de celulares

Dos empresas telefónicas ofrecen a usuarios los planes tarifarios para celular siguientes: La empresa “Tecel” cobra una renta mensual fija de 150 pesos más 2 por minuto de llamadas en el mes, mientras que la empresa “Movicel” cobra una renta mensual fija de 200 más 1.60 por minuto de llamadas en el mes ¿para cuántos minutos de llamadas conviene más una empresa que la otra, es decir, con cuál se paga menos?

celulares

Solución gráfica

Para comprender y avanzar en la solución del problema puedes determinar el pago mensual por los primeros 10 minutos de llamadas para cada una de las compañías. Completa las siguientes tablas con base en la información dada en el texto del problema y contesta las preguntas. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Debes llenar todos los espacios para recibir retroalimentación.

Tabla 1

Empresa “Tecel”
Tiempo [min]
t
Pago Tecel []
T
0 150
1
152
2 154
3 156
4 158
5
160
6
162
7 164
8 166
9
168
10 170

Tabla 2

Empresa “Movicel”
Tiempo [min]
t
Pago Movicel []
T
0 200.00
1 201.60
2
203.20
3 204.80
4
206.40
5
208.00
6 209.60
7 211.20
8 212.80
9 214.40
10
216

¿Cuánto se pagaría a la empresa “Tecel” por hacer llamadas durante 6 minutos en el mes? 162

¿Cuánto se pagaría a la empresa “Movicel” por hacer llamadas durante 6 minutos en el mes? 209.60

Para determinar cuál de las dos empresas conviene más se tomarán mayores tiempos de llamada. Completa las siguientes tablas y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Tabla 3

Empresa “Tecel”
Tiempo [min]
t
Pago Tecel []
T
0 150
20
190
40 230
60
270
80
310
100 350
120 390
140
430
160 470
180 510
200
550

Tabla 4

Empresa “Movicel”
Tiempo [min]
t
Pago Movicel []
M
0 200
20
232
40 264
60 296
80
328
100 360
120
392
140 424
160 456
180
488
200 520

Observa en las tablas que, según los minutos de llamadas en el mes, se puede pagar menos en una empresa que en la otra.

La representación tabular de la tarifa de Tecel está dada por las tablas 1 y 3, pero ¿cuál es su representación algebraica (función) que nos facilite operar para resolver el problema? La respuesta se dará en la parte 3.

Gráfica Tecel

Para obtener la función de la tarifa Tecel $T$ completa con la información correspondiente. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas:

Con la empresa Tecel, aparte de la renta mensual, se tiene que:

Por hablar 1 minuto se paga: (2 pesos) x (1) = 2 pesos

Por hablar 2 minuto se paga: ( 2 pesos) x (2) = 4 pesos

Por hablar 3 minuto se paga: ( 2 pesos)x( 3)= 6 pesos

Por hablar t minuto se paga: (2 pesos) x ( t)=2 t pesos

Además del pago por los minutos que se habla al mes, representado por $2t$, se tiene que pagar 150 pesos de renta fija, por lo que el total $T$ que se paga al mes por hablar $t$ minutos está dado por la función :

T= $2t$+ 150 pesos,

donde $t$ está en minutos.

¿Con esta función lineal se obtienen los datos de la tabla 1 y 3? ¿si o no?

Efectivamente, la representación algebraica de la función para calcular el pago mensual $T$ en términos de los minutos $t$ de llamada en el mes, para la empresa “Tecel” es:

$T=2t+150$

ya que se tiene que multiplicar el número de minutos $t$ de llamadas por 2 pesos que se cobra cada minuto y sumar la renta fija mensual de 150.

Si queremos calcular lo que cobra “Tecel” para 40 minutos de llamada al mes, se sustituye $t=40$ en la expresión algebraica y se realizan las operaciones:

$T=2(40)+150$

$T=80+150$

$T=230$

por lo que se cobrará 230, como se tiene en la Tabla 3. De manera similar se calcula lo que se cobra para el número de minutos que se quiera.

Ahora se observará la representación gráfica de la tabla 3 de valores de la función $T=2t+150$ del pago de la empresa “Tecel”, en donde $t$ representa el tiempo en minutos.

En el recurso Celular Tecel que abrirás a continuación, todos los puntos $A$ de la recta de color naranja cumplen con la función de la empresa “Tecel” $T=2t+150$, que son todas las parejas de valores $(t,T)=(t,2t+150)$ que se pueden formar, como los de la Tabla 1 y Tabla 3.

Explora el recurso Celular Tecel que se presenta, mueve el deslizador t para ver lo que cobra la empresa “Tecel” por los minutos de llamada que se realizan al mes. Todos los puntos de la recta cumplen con la condición de la empresa “Tecel”. Contesta las siguientes preguntas, al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

geogebra

Calcula lo siguiente:

¿Cuánto se pagaría a la empresa “Tecel” por hacer llamadas por 154 minutos en el mes? 458.00 pesos

Por cuántos minutos de llamadas al mes se paga a tecel 534? 192 minutos

Gráfica Movicel

Para obtener la función de la tarifa Movicel $M$ completa con la información correspondiente. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas:

La expresión algebraica (función) para el pago mensual en términos de los minutos $t$ de llamada en el mes, para la empresa “Movicel” es:

$M=$ 1.60$t+$ 200

ya que se tiene que multiplicar el número de minutos t de llamadas por 1.60 pesos que se cobra cada minuto y sumar la renta fija mensual de 200.

Si quieres calcular lo que cobra “Movicel” para 40 minutos de llamada al mes, se sustituye $t=40$ en la expresión algebraica $M=1.60t+200$ y se realizan las operaciones:

$M=1.60(40)+200$

$M=64+200$

$M=264$

por lo que se cobrará 264, como se tiene en la Tabla 4. De manera similar se calcula lo que se cobra para el número de minutos que se quiera.

En el recurso Celular Movicel que abrirás a continuación, todos los puntos B de la recta de color naranja cumplen con la función de la empresa “Movicel” $T=1.60t+200$, que son todas las parejas de valores:

$(t,T)=(t,1.60t+200)$ que se pueden formar, como los de la Tabla 2 y Tabla 4.

Explora el recurso celular Movicel que se presenta, mueve el deslizador $t$, para ver lo que cobra la empresa “Movicel” por los minutos de llamada que se realizan al mes. Todos los puntos de la recta cumplen con la condición de la empresa “Movicel”. Contesta las siguientes preguntas, al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

geogebra

Calcula lo siguiente:

¿Cuánto se pagaría a la empresa “Movicel” por hacer llamadas por 154 minutos en el mes? 446.40

¿Por cuántos minutos de llamadas al mes se paga a Tecel $545.60? 216 minutos

Las funciones anteriores $T=2t+150$ y $M=1.60t+200$ son ecuaciones lineales del tipo $ax+by=c$, ya que $T=2t+150$ se puede escribir como $-2t+T= 150$ donde $x=t$, $y=T$, $a=-2$, $b=1$ , $c=150$; en tanto $M=1.60t+200$ se puede escribir como $-1.60t+M=200$ donde $x=t$, $y=M$, $a=-1.60$, $b=1$, $c=200$.

equs

Se ha utilizado $t$ para que te recuerde que es el tiempo de llamadas en minutos y $T$ o $M$ es el pago de la tarifa Tecel o Movicel.

Gráficas Tecel y Movicel

En el recurso celular T y M que se presenta, se tienen las gráficas de las tarifas de “Tecel” y “Movicel” en un mismo sistema de coordenadas para hacer una comparación entre ellas. Mueve el deslizador $t$ para que observes, de acuerdo con determinados minutos, que empresa cobra menos que la otra y cuando las dos empresas cobran lo mismo. Contesta las siguientes preguntas, al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas

geogebra

Para 85 minutos de llamadas, a Tecel se paga 320 pesos y a Movicel se paga 336.

Para 178 minutos de llamadas, a Tecel se paga 506 pesos y a Movicel se paga 484.8.

¿Para cuántos minutos de llamadas al mes se paga lo mismo en las dos empresas? 125

Observa en el recurso GeoGebra que todos los puntos de la recta de color rojo $(t,T)=(t,2t+150)$ cumplen con la condición de la tarifa de la empresa “Tecel”, ecuación $T=2t+150$, mientras que todos los puntos de la recta de color azul $(t,M)=(t,1.60t+200)$ cumplen con la condición de la tarifa de la empresa “Movicel”, ecuación $M=1.60t+200$, pero únicamente el punto de intersección de las dos rectas (donde ${\color{Red} 2}{\color{Red} t}{\color{Red} +}{\color{Red} 1}{\color{Red} 5}{\color{Red} 0}= {\color{Blue} 1}{\color{Blue} .}{\color{Blue} 6}{\color{Blue} 0}{\color{Blue} t}{\color{Blue} +}{\color{Blue} 2}{\color{Blue} 0}{\color{Blue} 0}$) cumple simultáneamente con las dos condiciones de las tarifas de las empresas, es decir cobran lo mismo:

En el punto de intersección se tiene ${\color{Red} A}{\color{Red} =}(t,{\color{Red} 2}{\color{Red} t}{\color{Red} +}{\color{Red} 1}{\color{Red} 5}{\color{Red} 0})=(125,{\color{Red} 4}{\color{Red} 0}{\color{Red} 0})$ y ${\color{Blue} B}{\color{Blue} =}(t,{\color{Blue} 1}{\color{Blue} .}{\color{Blue} 6}{\color{Blue} 0}{\color{Blue} t}{\color{Blue} +}{\color{Blue} 2}{\color{Blue} 0}{\color{Blue} 0})=(125,{\color{Blue} 4}{\color{Blue} 0}{\color{Blue} 0})$, lo que quiere decir que por 125 minutos, las dos empresas cobran 400

Mueve el deslizador en el escenario y observa que para menos de 125 minutos de llamadas Tecel cobra menos que Movicel, mientras que para más de 125 minutos la situación se invierte, es decir, Movicel cobra menos que Tecel.

Con lo anterior, ya podemos contestar la pregunta de cuál de las dos empresas conviene más, es decir, cobra menos:

La empresa “Tecel” conviene cuando se hacen menos de 125 minutos de llamadas al mes, en tanto la empresa “Movicel” conviene cuando se realizan más de 125 minutos de llamadas.

Alumno: