Problemas / ecuaciones lineales

Problemas que involucran ecuaciones lineales

En este apartado se presentan problemas que satisfacen dos condiciones, cada una de éstas las expresarás como una ecuación lineal con dos incógnitas. En un primer momento analizarás y resolverás cada ecuación de forma independiente y en concordancia con la condición especificada, para ello, utilizarás los registros tabular y gráfico. Después considerarás las dos condiciones y procederás a su modelación con un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, así como su resolución con los métodos tabular y gráfico.

Problema 1

En la construcción de los cajones de un librero de madera, un carpintero necesita cortar una tabla de 20 centímetros de largo en dos partes que tengan como diferencia entre ellas 6 centímetros. Determina la longitud de las partes.

Sistema de ecuaciones lineales

Para la resolución del problema considerarás las dos condiciones especificadas en el mismo, cada una de ellas da entrada a una ecuación de primer grado con dos incógnitas, éstas las resolverás de manera independiente con los métodos tabular y gráfico, así mismo, obtendrás la solución común de ambas para que establezcas el criterio que deben satisfacer y su relación con el método de igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de $2x2$.

Modelación de ecuaciones lineales

  1. Primera condición del problema 1

Es el proceso en el que se identifican los datos, las incógnitas y la relación entre ellos para la formulación del modelo matemático consistente en una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas tal como se especifica en la tabla.

Datos Incógnitas Ecuación lineal
Longitud de la tabla 20 cm Sean $x$ e $y$, las partes en las que queda dividida la tabla. $x+y=20$

 

En la resolución de la ecuación lineal $x+y=20$, considera los procedimientos de tabulación y graficación.

Ejercicio de escribir

 

Solución tabular de la ecuación $x + y = 20$

Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación, la incógnita la expresaremos en términos de la incógnita $x$, para ello, consideramos la ecuación $x + y = 20$, en ésta, al hacer la transposición de la incógnita $y$ al lado derecho de la ecuación se obtiene $y = 20 - x$, lo que significa que la incógnita $y$ está expresada en términos de la incógnita $x$, lo cual simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores a la incógnita , los valores de la incógnita quedan determinados como se presenta en la Tabla 1.

Realiza la tabulación de los espacios de color azul de la tabla, para esto sustituye el valor de $x$ y escríbelos en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

$x$ $y = 20 - x$ $x+y=20$
$0$ $y=20-0=20$ $0+20=20$
$4$ $y=20-4=16$ $4+16=20$
$10.5$
$y=20-10.5=9.5$
$10.5+9.5=20$
$13$ $7$ $13+7=20$
$15.5$
$y=20-15.5=4.5$
$15.5+4.5=20$
$17$ $y=20-17=3$ $17+3=20$
$20$ $y=20-0=20$ $20+0=20$
Tabla 1

Si tus respuestas son correctas aplicaste en forma adecuada la prioridad de los operadores aritméticos, en caso contrario, vuelve a revisar el contenido.

Por otro lado, las coordenadas de los puntos (x,y)=(x,y=20-x), representan las soluciones de la ecuación. Cabe mencionar que la incógnita $x$, también, puede representarse en términos de la incógnita $y$, mediante la expresión $x = 20-y$ las coordenadas de los puntos$(x,y) = (20-y, y)$ también representan las soluciones de la ecuación.

Ejercicio de escribir


Ejercicio de Geogebra


Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 1 en el plano cartesiano, para ello revisa el siguiente recurso GeoGebra , el cual te permitirá realizar la graficación y la comprensión de la condición mencionada.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las siguientes preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

¿Qué representan las coordenadas del punto A?


Las soluciones de la ecuación

 

¿Cuántas soluciones tiene la primera condición $x+y=20$ ?


Muchas

 

¿Qué figura geométrica representan las soluciones de la primera condición?


Una línea recta

 

Con base en la exploración que realizaste con el recurso GeoGebra, se concluye que las coordenadas del punto A son la solución de la ecuación $x+y=20$, es una línea recta y tiene muchas soluciones.



  1. Segunda condición del problema 1

Datos Incógnitas Ecuación lineal
Longitud de la tabla 20 cm Sean $x$ e $y$, las partes en las que queda dividida la tabla. $x-y=6$

 

Ejercicio de escribir

 

Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación, la incógnita $y$ la expresaremos en términos de la incógnita $y$, para ello consideramos la ecuación $x-y=6$, en ésta, al hacer la transposición de la incógnita $y$ al lado derecho y $6$ al lado izquierdo de la ecuación se obtiene $x-6=y$, lo que significa que la incógnita $y$ está expresada en términos de la incógnita $x$, lo cual simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores para la incógnita , los valores de la incógnita quedan determinados como se presenta en la Tabla 2.

Realiza la tabulación de los espacios de color azul de la tabla y escríbelos en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

$x$ $y=x-6$ $x-y=6$
$8$ $y=8-6=2$ $8-2=6$
$10.5$
$y=10.5-6=4.5$
$10.5 -4.5=6$
$13$ $y=13-6=7$ $13-7=6$
$14.5$
$y=14.5-6=8.5$
$14.5-8.5=6$
$20$ $y=20-6=1 4$ $20-14=6$
Tabla 2

Las coordenadas de los puntos $(x,y)=(x,x-6)$, representan las soluciones de la ecuación. Asimismo, la incógnita $x$, también, puede representarse en términos de la incógnita $y$, mediante la expresión $x=y+6$, y las coordenadas de los puntos $(x,y)=(y+6,y )$, también, representan las soluciones de la ecuación.

Ejercicio de escribir


Ejercicio de Geogebra


Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 2 en el plano cartesiano, para ello, revisa el siguiente recurso GeoGebra , el cual te permitirá la graficación y comprensión de la solución de dicha condición.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las siguientes preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

¿Qué representan las coordenadas del punto B?


Las soluciones de la ecuación

 

¿Cuántas soluciones tiene la segunda condición $x-y=6$ ?


Muchas

 

¿Qué figura geométrica representan las soluciones de la segunda condición?


Una línea recta

 

Con base en la exploración que realizaste con el escenario de trabajo, se concluye que las coordenadas del punto B son la solución de la ecuación $x-y= 6$ , describen una línea recta y tiene muchas soluciones.



Ahora retoma las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales del problema 1 y determina la solución de ambas, mediante los métodos tabular y gráfico.

En la siguiente tabla se presentan algunos cortes de la madera y las dos condiciones que deben satisfacer, la primera es $x+y=20$ y la segunda $x-y=6$. Ambas ecuaciones forman el sistema de ecuaciones lineales de $2x2\left\{\begin{matrix}x+y=20\\ x-y=6\end{matrix}\right.$

Elige las longitudes de los cortes especificados en la tabla que cumplan con ambas condiciones y escríbelos en los recuadros correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Datos Incógnitas Ecuación lineal Ecuación lineal
$$x$$ $$y$$ $$x+y=20$$ $$x-y=6$$
$$0$$ $$20$$ $$0+20=20$$ $$0-20=-20$$
$$4$$ $$16$$ $$4+16=20$$ $$4-16=-12$$
$$10.5$$ $$9.5$$ $$10.5+9.5=20$$ $$10.5-9.5=1$$
$$13$$ $$7$$ $$13+7=20$$ $$13-7=6$$
$$15.5$$ $$4.5$$ $$15.5+4.5=20$$ $$15.5-4.5=11$$
$$17$$ $$3$$ $$17+3=20$$ $$17-3=14$$
$$20$$ $$0$$ $$20+0=20$$ $$20-0=20$$

 

$x=$

$x=13$
$y=$

$y=7$

Las longitudes de los cortes son $13$ y $7$ ya que son los únicos que cumplen con ambas condiciones del problema 1, es decir, satisfacen al sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}x+y=20\\ x-y=6\end{matrix}\right.$, puesto que $13+7=20$ y $13-7=6$.

 

Ejercicio de escribir


Ejercicio de Geogebra

 

Para encontrar esta solución es necesario que grafiques cada una de las condiciones del problema mencionado en el plano cartesiano, a través del recurso GeoGebra , el cual te permitirá la comprensión de la solución gráfica del sistema de ecuaciones lineales del problema mencionado.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las siguientes preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

 

¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de intersección de ambas rectas?


$(13,7)$

 

¿Qué representa el punto de intersección de ambas rectas?


La solución del sistema

 

En congruencia con la exploración que realizaste con el recurso GeoGebra, se concluye que las coordenadas de los puntos A y B coinciden en el punto de intersección de ambas rectas y es la solución del sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}x+y=20\\ x-y=6\end{matrix}\right.$ . La solución del sistema es el punto de intersección de las dos rectas y tiene por coordenadas $(13,7)$, puesto que suman $20$ y su resta es $6$ las cuales coincide con la solución que encontraste en la tabulación.


Ejercicio de escribir


En concordancia con la tabla y la gráfica se concluye que las coordenadas $(x,20-x)$ son soluciones de la ecuación $x+y= 20$, mientras que las coordenadas $(x,x-6)$, son las soluciones de la ecuación $x-y=6$. En ambas parejas ordenadas la primera coordenada $x$ es igual. Para obtener la solución común de ambas ecuaciones, ¿qué condición deben satisfacer las segundas coordenadas?

Escribe tu respuesta en el cuadro correspondiente.

 


Las segundas coordenadas deben ser iguales

 

 

Cabe enfatizar que las segundas coordenadas de los puntos deben ser iguales, lo que da entrada a la resolución del sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación.


Para que conozcas otro ejemplo, revisa el Problema 2.