Problema de las monedas

Javier tiene $21$ en monedas de $20$ y $50$ centavos. ¿Cuántas monedas de cada tipo hay si el número total de ellas es $69$ ?

Planteamiento

Si representamos por:

$x$ el número de monedas de $20$ centavos

$y$ el número de monedas de $50$ centavos

Se tiene lo siguiente:

$0.20x$ es la cantidad de dinero en pesos con las monedas de $20$ centavos, ya que $20$ centavos $=0.20$ pesos

$0.50x$ es la cantidad de dinero en pesos con las monedas de $50$ centavos, ya que $50$ centavos $=0.50$ pesos

El sistema de ecuaciones que cumple las condiciones para resolver el problema es:

$x+y=69$ Ec. 1

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

Ahora que has revisado el planteamiento del problema, así como los datos disponibles, revisarás los pasos para resolver este sistema de ecuaciones con los métodos gráfico y de sustitución.

Solución por el método gráfico

La solución gráfica del sistema se obtiene con las gráficas de las ecuaciones construidas en un mismo plano cartesiano. Por medio de una tabulación para cada una de las ecuaciones se pueden obtener las coordenadas de puntos a partir de los cuales se construye la gráfica respectiva. Es importante recordar que las coordenadas $(x,y)$ de cada punto constituyen una solución de la ecuación correspondiente.

Para hacer una tabulación se puede despejar y de la ecuación, sustituir en ella los valores de $x$ que se deseen para obtener los puntos $(x,y)$ que cumplen la condición de la ecuación y graficar éstos en un sistema cartesiano, como se muestra a continuación.

La solución del sistema está dada por la solución común de las dos condiciones de las ecuaciones: los mismos valores de $x$ , $y$ que cumplen con las dos ecuaciones a la vez. Las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de las ecuaciones es la solución del sistema, como se mostrará posteriormente.

A continuación, revisa los diferentes pasos del método gráfico para solucionar el problema dando clic en cada una de las pestañas. Sigue las indicaciones y contesta lo que se pide en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Recuerda que:

$x$ el número de monedas de $20$ centavos

$y$ el número de monedas de $50$ centavos

Tabulación de la ecuación Ec. 1

$x+y=69$ Ec. 1

De se despeja $y$ :

$x+y=69$ Ec. 1

$x+y-x=69-x$

$y=69-x$

(se resta $x$ a ambos lados de la ecuación)

(se simplifica)

Por lo que los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 1 se expresan como:

$A=(x,y)=(x,69-x)$

Practicando

Para $x=0, y=69-x=69-0=69$

Se obtiene el punto $(0,69)$

$x=10$ ,

$y=69-10=$

$59$

Se obtiene el punto $(10,59)$

$x=20$ ,

$y=69 -$

$20$

$=49$

Se obtiene el punto $(20$ ,

$49$

$)$ Etc.

De esta manera se obtiene la Tabla 1

Tabla 1

$y=69-x$
$x$	$y$	Puntos
$0$	$69$	$(0,69)$
$10$	$59$	$(0,59)$
$20$	$49$	$(20$ , $49$ $)$
$30$	$39$	$($ $30$ , $39)$
$40$	$29$	$(40,29)$
$50$	$19$	$($ $50$ , $19$ $)$
$60$	$9$	$(60,9)$

arriba

Tabulación de la ecuación Ec. 2

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

De se despeja $y$ :

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

$0.20x+0.50y-0.20x=21-0.20x$

$0.50y=21-0.20x$

$\frac{0.50y}{0.50}=\frac{21-0.20x}{0.50}$

$y=42-0.40x$

(se resta $0.20x$ a ambos lados de la ecuación)

(se simplifica)

(se divide entre $0.50$ ambos lados de la ecuación)

(se simplifica $\frac{21-0.20x}{0.50}= \frac{21}{0.50}- \frac{0.20x}{0.50}= 42-0.40x$ )

Por lo que los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 2 se expresan como:

$B=(x,y)=(x,42-0.40x)$

Practicando

Para $x=0,y=42-0.40x=42-0.40(0)=42$

Se obtiene el punto $(0,42)$

$x=10,y=42-0.40x=42-0.40(10)=38$

Se obtiene el punto $(10,38)$

$x=20,y=42-0.40x=42-0.40(20)=34$

Se obtiene el punto $(20,34)$

De esta manera se obtiene la Tabla 2

Tabla 2

$y = 42 - 0.40x$
$x$	$y$	Puntos
$0$	$42$	$(0,42)$
$10$	$38$	$(10,38)$
$20$	$34$	$(20$ , $34$ $)$
$30$	$30$	$($ $30$ , $30$ $)$
$40$	$26$	$(40$ , $26$ $)$
$50$	$22$	$(50,22)$
$60$	$18$	$($ $60$ , $18$ $)$

arriba

Solución gráfica del sistema

A continuación, revisa el recurso GeoGebra Problema de las monedas y sigue las instrucciones.

Como pudiste ver en el recurso, en el escenario la recta de color rojo es la gráfica de todos los puntos $A(x,y)=(x,69-x)$ que cumplen la condición de la ecuación , mientras que la recta de color azul es la gráfica de todos los puntos $B=(x,y)=(x,42 - 0.40x)$ que cumplen con la condición de la ecuación Ec. 2.

En el problema sólo la parte continua de las rectas tiene sentido, cuando el número de monedas $x$ de $20$ cts. o el número de monedas $y$ de $50$ cts. es positivo y suman $69$ .

Con base en lo que observaste en el recurso GeoGebra, contesta lo que se pide en los recuadros correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

¿Cuál es el número de monedas de $50$ centavos que cumple con la Ecuación 1, cuando el número de monedas de $20$ centavos es $30$ ?	$49$
¿Cuál es el número de monedas de $50$ centavos que cumple con la Ecuación 2, cuando el número de monedas de $20$ centavos es $30$ ?	$34$
¿Cuál es la solución gráfica del sistema de ecuaciones en el problema de las monedas?	$x=$ $45$ $y=$ $24$
Según lo anterior, los números de monedas que cumplen con las dos ecuaciones son:	$45$ monedas de $20$ centavos $24$ monedas de $50$ centavos

Si tus respuestas son correctas resolviste adecuadamente el sistema de ecuaciones por el método gráfico, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Después de revisar el recurso y resolver el ejercicio puedes ver que la solución gráfica del sistema de ecuaciones es el punto de intersección de ambas gráficas, cuando $A=B$ , ya que en este punto las incógnitas $x$ , $y$ tienen los mismos valores y cumplen con las condiciones de las dos ecuaciones.

arriba

Solución y comprobación del problema

Finalmente, se obtiene la respuesta al problema que se propuso resolver, utilizando la solución gráfica del sistema con el significado que se dio a las incógnitas, para comprobar que el problema se resolvió correctamente:

$x+y=69$ Ec. 1

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

La solución gráfica de este sistema de ecuación es $x= 20$ , $y=25$

Solución del problema:

$45$ monedas de $20$ cts.

$24$ monedas de $50$ cts.

Comprobación del problema:

Se verifica que la respuesta dada cumpla con las condiciones del problema, porque puede suceder que se resuelvan las ecuaciones muy bien pero el problema no, por algún error que se haya cometido en el planteamiento:

$45 + 24 = 69$ se cumple que son 69 monedas

$0.20(45)+0.50(24) = 9+12 = 21$ se cumple que son 21 pesos

Por todo lo anterior, se concluye que la respuesta dada al problema es correcta.

arriba

Solución por el método de sustitución

Ahora se resuelve el sistema de ecuaciones del problema de las monedas de manera algebraica por el método de sustitución, a través del siguiente esquema de cuatro pasos. Da clic en las pestañas para seguir el procedimiento.

Sigue las indicaciones y contesta lo que se pide en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$x+y=69$ Ec. 1

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

Se despeja la incógnita

$y$ de cualquiera de las dos ecuaciones

Esto, para encontrar la representación algebraica de los puntos que representan la solución de la ecuación elegida. En este caso, se escoge despejar de la ecuación Ec. 1 y se obtiene la Ec. 1’:

$x+y=69$ Ec. 1

$x+y-$

$x$

$=69-$

$x$

Ec. 1’

$y=69-$

$x$

(se resta

$x$ a ambos lados de la ecuación)

(se simplifica)

Por tanto, los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 1 son

$A=(x,y)=(x,$

$69$

$-$

$x$

$)$

arriba

Se sustituye

$y$ de la ecuación Ec. 1’ en la ecuación Ec. 2 del sistema

Para que los puntos $A=(x,y)=(x,69-x)$ que cumplen con la ecuación cumplan también con la ecuación , se requiere que sus valores $(x,y)$ sean los mismos, por lo que $y=69-x$ se sustituye en la ecuación $0.20x+0.50y=21$ y, una vez hecho esto, se resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita para obtener su valor, como se muestra a continuación.

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

$0.20x+0.50($ $69$ $-$ $x$ $)=21$	(se sustituye $y$ de Ec. 1’)
$0.20x+34.5-0.50$ $x$ $=21$	(se elimina el paréntesis)
$-$ $0.30$ $x+34.5 =21$	(se simplifica)
$-0.30x+34.5-34.5 =21-$ $34.5$	(se resta 34.5 en ambos lados de la ecuación)
$-0.30 x=-$ $13.5$	(se simplifica)
$-0.30x$ $-0.30$ $-13.5x$ $\frac{-13.5x}{-0.30}$	(se divide entre $–0.30$ ambos lados de la ecuación)
$x=$ $45$	(se simplifica)

arriba

Se sustituye el valor encontrado

$x=45$

Esto se hace en cualquiera de las ecuaciones que tenga las dos incógnitas para obtener el valor de $y$ . Esta vez se escoge la ecuación Ec. 2

$0.20x+0.50y=21$ Ec. 2

$0.20($ $45$ $)+0.50y=21$	(se sustituye $x=45$ )
$9+$ $0.50y$ $=21$	(se simplifica)
$9+0.50y-$ $9$ $=21-$ $9$	(se resta 9 en ambos lados de la ecuación)
$0.50y=$ $12$	(se simplifica)
$0.50y$ $12$ $\frac{0.50y}{0.50}=\frac{12}{0.50}$	(se divide entre $0.50$ ambos lados de la ecuación)
$x=$ $24$	(se simplifica)

Si tus respuestas son correctas realizaste adecuadamente el proceso para sustituir valores de incógnitas en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Si se escoge sustituir en Ec. 1

$x+y=69$

$45+y=69$

$45+y-45=69-45$

$y=24$

Observa que sustituyendo en se encuentra el mismo valor $y$ que en Ec. 2.

arriba

Comprobación

Se sustituyen la solución encontrada $x=45$ , $y=24$ en cada una de las dos ecuaciones originales para verificar que se cumplan.

$x+y=$

$69$

Ec. 1

$45+$

$24$

$=69$

$69$

$=69$

$0.20x+0.50y=$

$21$

Ec. 2

$0.20($

$45$

$)+0.50($

$24$

$)=21$

$9+$

$12$

$=21$

$21$

$=21$

Como cada una de las dos ecuaciones cumple con la solución encontrada, la solución es correcta:

$x=$

$45$

$y=$

$24$

Si tus respuestas son correctas realizaste adecuadamente el proceso de comprobación para la solución encontrada en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Con la comprobación dada en el Paso 4 se termina de resolver correctamente el sistema de ecuaciones del problema de las monedas por el método de sustitución.

Observa que se encontró la misma solución que con el método gráfico:

$x=45$ , $y=24$

Nota: Es necesario verificar la solución en cada una de las dos ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta, porque puede suceder que la solución encontrada sólo se cumpla en una ecuación y no en la otra.

arriba

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