Sistemas 3x3: Suma

Obtención de sistemas equivalentes de 3x3: Criterio de la suma o diferencia

Este criterio establece que, si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta otro sistema equivalente al original.

Por ejemplo, los siguientes sistemas de ecuaciones de 3x3 son equivalentes ya que tienen una misma solución, determinada por los valores de $C=100$, $H=30$ y $M=70$ .

Sistema Original


$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 16C + 50M + 80H = 7500 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 2
Ec. 3

Primer sistema equivalente al original


$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 34M + 64H = 4300 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 4
Ec. 3

Donde la Ec. 4 es el resultado de sumar o restar un múltiplo de la Ec. 1 a la Ec. 2, tal como se indica a continuación:

Ecuación 1 $C + M + H = 200$ Ec.1
Multiplica por -16 la ecuación 1 $-16 (C+M+H=200$
Realiza las operaciones: $-16C-16M-16H=-3200$ Ec.1´
Suma las ecuaciones Ec. 1’ y Ec. 2;
el resultado será la ecuación 4.
Con las ecuaciones Ec. 1, Ec. 4 y Ec. 3
forma el nuevo sistema equivalente.
Observa que los sistemas son equivalentes ya que tienen la misma solución; esta situación se cumple a pesar de que la Ec. 4 del sistema equivalente que está compuesta únicamente de dos incógnitas, es decir, $M$ y $H$.

A partir del primer sistema equivalente al original, es posible generar otros sistemas también equivalentes al sistema original.

Para ilustrar esta situación retomaremos el sistema original anterior $\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 16C + 50M + 80H = 7500 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$ , el cual tiene los siguientes dos sistemas equivalentes.

Primer sistema equivalente


$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 34M + 64H = 4300 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 4
Ec. 3

Segundo sistema equivalente


$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 34M + 64H = 4300 \hfill \cr - 2M - 2H = - 200 \hfill \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 4
Ec. 5

Donde el segundo sistema equivalente se obtuvo a partir del primer sistema equivalente. Para ello, se aplicó nuevamente el Criterio de la suma o diferencia de ecuaciones: la Ec. 5 es el resultado de sumar o restar un múltiplo de la Ec. 1 a la Ec. 3, tal como se indica a continuación:

Ecuación 1 $C + M + H = 200$ Ec.1
Multiplica por $-1$ la ecuación $1$ $-1(C + M + H = 200)$
Realiza las operaciones $-C-M- H =-200$ Ec.1´
Suma las ecuaciones Ec. 1’ y Ec. 3;
el resultado será la ecuación $5$:
Con las ecuaciones Ec. 1, Ec. 4 y Ec. 5

forma el nuevo sistema equivalente.
Observa que los sistemas son equivalentes ya que tienen la misma solución; esta situación se cumple a pesar de que la Ec. 4 del segundo sistema equivalente está compuesta únicamente de dos incógnitas, es decir, $M$ y $H$.

Practicando

Empleando el Criterio de la Suma, determina un tercer sistema equivalente al siguiente sistema, multiplicando la Ec. 5 por 17. Escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 34M + 64H = 4300 \hfill \cr - 2M - 2H = - 200 \hfill \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 4
Ec. 5
Completa todas tus respuestas para poder verificar.
Ecuación 5 $ - 2M - 2H = - 200$ Ec.5
Multiplica por 17 la ecuación 1 $17 (-2M-2H=-200)$
Simplifica $M-$ H= Ec.5´
${\color{Red} -34}M{\color{Red} -34}H={\color{Red} -3400}$
Suma las ecuaciones Ec. 4
y Ec. 5´; el resultado será la ecuación $6$.
+ $-34M+-34H=-3400$ Ec.4
$M-$ $H=$ Ec.5´
$H=$ Ec.6
Con las ecuaciones Ec. 1,
Ec. 4 y Ec. 6 forma el nuevo sistema
equivalente.
$C+M+H=200$ Ec.1
$34M+64H=4300$ Ec.4
$H=$ Ec.6

 

Los sistemas equivalentes son:

Sistema Original


$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 16C + 50M + 80H = 7500 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 2
Ec. 3

Primer sistema equivalente al original


$\left\{ \matrix{ \hfill C + M + H = 200 \cr \hfill 34M + 64H = 4300 \cr \hfill 30H = 900 \cr} \right.$

Ec. 1
Ec. 4
Ec. 6

 

 

Donde la solución para ambos sistemas está dada por los valores $C=100$, $H=30$ y $M=70$ .

Observa que los sistemas son equivalentes ya que tienen la misma solución; esta situación se cumple a pesar de que la Ec. 4 del sistema equivalente está compuesta únicamente de dos incógnitas, es decir, $M$ y $H$; y que la Ec. 6 tiene una sola incógnita, es decir, $H$.

 

El tercer sistema equivalente tiene una ventaja respecto al sistema original, pues permite calcular el valor de cada una de las incógnitas fácilmente. Observa que este último sistema está escrito en forma triangular.