Sistemas equivalentes 3x3

En los Sistema de ecuaciones de 3x3 se comprobó que los valores $x=-1$, $y=0$ y $z=1$ son solución a estos sistemas:

Sistema 1

$$\left\{ \matrix{ x + 2y + 3z = 2 \hfill \cr x + 3y - z = - 2 \hfill \cr 3x + 4y + 3z = 0 \hfill \cr} \right.$$

Sistema 2

$$\left\{ \matrix{ 11x + 32y - 7z = - 18 \hfill \cr 31x + 42y + 33z = 2 \hfill \cr 31x + 43y + 29z = - 2 \hfill \cr} \right.$$

Al igual que en los sistemas de ecuaciones de 2x2, existen sistemas equivalentes de ecuaciones de 3x3, ya que, si dos o más sistemas tienen la misma solución entonces son equivalentes.

Practicando

En los Sistema de ecuaciones de 3x3 también se verificó que los valores $x=-16$, $y=-8$ y $z=6$ son solución de los siguientes sistemas:

Sistema 1

$$\left\{ \matrix{ - 2x + 4y + z = 6 \hfill \cr x - 4y - 3z = - 2 \hfill \cr - 3x + 4y - 2z = 4 \hfill \cr} \right.$$

Sistema 2

$$\left\{ \matrix{ 8x - 36y - 29z = - 14 \hfill \cr - 32x + 44y - 19z = 46 \hfill \cr - 29x + 36y - 23z = 38 \hfill \cr} \right.$$

  1. A partir de dichos resultados se puede afirmar que:

    • Ambos sistemas son equivalentes ya que tienen la misma solución
    • Los sistemas no son equivalentes a pesar de tener la misma solución

    Los sistemas son equivalentes ya que los valores $x=-16$, $y=-8$ y $z=6$ son solución de ambos sistemas. Recuerda que dos o más sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 corresponde a dos rectas en el plano cartesiano. Se dice que estos sistemas tienen solución única si las rectas se intersecan en un punto $(x, y)$, que es la solución del sistema.

Para el caso de los sistemas de 3x3, su representación gráfica consiste en tres planos en el espacio tridimensional $xyz$, donde la solución única del sistema es el punto de intersección.

Observa la siguiente animación 3D en la que se muestran tres planos que corresponden a la representación gráfica del siguiente sistema de 3x3:

$$\left\{ \matrix{ \color{Orange}{80x + 4y + 2z = 5.8} \hfill \cr \color{Red}{- 1.25x + 0.1y + z = 5} \hfill \cr \color{Blue}{x - 2y + z = 3} \hfill \cr} \right.$$

Donde cada ecuación corresponde a un plano diferente; haz clic sobre la animación con el botón derecho del ratón y desplázalo. Observa el punto A, que es donde se intersecan los tres planos; las coordenadas del punto A corresponden a la solución única del sistema