Potenciación: Problema de ajedrez

Potenciación: Problema del juego de ajedrez

Como punto de partida se te plantea un problema relacionado con el tablero de ajedrez, su resolución da entrada al estudio de las potencias, sus elementos, características, así como, una primera aproximación al descubrimiento de patrones de comportamiento para la formulación de sus leyes con exponente entero.

Nadie sabe el origen del ajedrez. Unos piensan que viene de la India, otros de China y otros de Persia. Es probable que fuera introducido en Europa por los árabes que conquistaron España a principios del siglo VIII. Lo que sí parece cierto es que hasta la Edad Media no se conoció en Europa, y que los juegos similares, de los que quedaron trazas en Egipto y Grecia, eran más bien parecidos a las damas.
Tras leer de muchas maneras la historia te presentamos la leyenda india sobre Sissa y el origen del ajedrez (Sissa, 2011).

Sissa

En la apartada región de Taligana, India, vivía un rey llamado Ladava. El rey había perdido en una cruenta batalla a su hijo, el joven príncipe Adjamir. La tristeza y la angustia se apoderaron del alma del rey sumiéndolo en un terrible estado de melancolía que le apartaron de la vida pública y de sus súbditos. Bufones, adivinos, músicos y bailarinas hicieron lo imposible para distraer a su Rey. Nada daba resultado.

Un humilde joven llamado Sissa, del pueblo de Lahur, decidió crear un juego para intentar obtener el éxito donde todos habían fracasado y devolver la alegría al corazón de su señor.

Sissa mostró a Ladava una caja en la que guardaba un hermoso tablero de 64 casillas, y un juego de piezas de madera tallada. Explicó a su Rey las reglas del juego y este retó al joven Sissa a una partida animado por la aparente sencillez del mismo. Entusiasmado por la gran cantidad de posibilidades que el juego ofrecía acto seguido invitó a sus ministros a jugar partidas donde estos pudieran exhibir su inteligencia y talento militar. Ladava comprendió la necesidad de planificar sus movimientos y de luchar permanentemente por el logro de unos objetivos, aunque para ello debiera sacrificar a menudo cosas valiosas en pro del bienestar de la mayoría.

Aprendió sobre los errores cometidos en combate y comprendió que la muerte de su hijo no era en vano ya que su vida había contribuido a la victoria obtenida y con ella facilitado la supervivencia del reino de Taligana. El Rey Ladava comenzó a incorporarse poco a poco a la vida pública, a atender los asuntos de estado y las necesidades de su pueblo. Queriendo recompensar al joven Sissa el rey se comprometió a conseguirle cualquier cosa que este deseara. Sissa pidió 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda y continuar doblando la cantidad de cada casilla hasta completar las 64 que componían el tablero.

Ladava que tampoco iba excesivamente fino en cuanto a cálculos matemáticos concedió a Sissa su deseo inmediatamente. Días más tarde y una vez que sus consejeros realizaron los mismos se le comunicó al rey la imposibilidad de realizar el deseo de Sissa.

Cuántos granos de trigo recibiría Sissa

ajedrez

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Observa la siguiente tabla que representa algunas casillas del tablero de ajedrez y los granos de trigo para cada una de ellas, escribe en ésta los granos de trigo que corresponden a las casillas faltantes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Para revisar tus respuestas debes completar el ejercicio.
Casillas Granos de trigo en la casilla
1 1
2 2
3 4
4
8
5 16
6 32
7 64
8
128
9 256
16 32768
17
65536
63 4611686018427387904
64
9223372036854775808

Con base en la tabla observa que la cantidad de granos de trigo para cualquier casilla, excepto la primera, se obtuvo al duplicar los granos de trigo de la casilla anterior, es decir, se multiplicó por 2, por ejemplo: 32 x 2 = 64. Asimismo, se observa que los granos de trigo correspondientes a cada casilla del tablero, puede representarse como una potencia de dos.

En la siguiente tabla se representa el número de granos de trigo para cada una de las casillas del tablero de ajedrez en forma abreviada. Escribe el número de granos de trigo como una potencia de 2 en las casillas faltantes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.
20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 210 211 212 213 214 215
216 217 2
18
219 220 221 222 223
224 225 226 2
27
228 229 230 231
232 233 234 235 2
36
237 238 239
240 241 242 243 244 2
45
246 247
248 249 250 251 252 253 254 255
256 257 258 259 260 261 262 263

Ahora responde en los espacios lo que se te solicita. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Para revisar tus respuestas debes completar el ejercicio.

Con base en la sucesión generada en la tabla y en su representación en forma abreviada, ¿cuál es el patrón de la sucesión para obtener el número de granos de trigo para cada una de las casillas del tablero de ajedrez? En este patrón de comportamiento, el exponente n, representa un número natural desde 1 hasta 64.

$2^{n-1}$

Suma los granos de trigo de cada una de las casillas del tablero de ajedrez y escribe el total.

$18446744073709551615$

Al igual que tú, el maestro y el discípulo se pusieron a hacer cuentas, y resultó que el rey tenía que entregar el número de granos de trigo que representarían la producción mundial durante unos siete mil años.

Alumno: