Problema área de rectángulos

Para la resolución del problema área de triángulos utilizarás el recurso GeoGebra Variación directa del área de un cuadrilátero, mismo que te facilitará la comprensión del concepto de la variación directamente proporcional entre dos variables.

A continuación revisa los diferentes aspectos del problema dando clic en cada una de las pestañas.

• Aspecto tabular
• Aspecto gráfico
• Aspecto algebraico

Determina el área de los rectángulos $R_{4}, R_{5}, R_{6}$ que aparecen en el recurso al arrastrar el deslizador altura.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, completa la tabla en la que deberás determinar el área de los rectángulos que se especifican, en ésta se considera el valor de la base 2 y la altura variable. Cabe señalar que el valor de la base puede ser otro diferente al de la tabla, tal como lo exploraste en el recurso. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Rectángulos	Base	Altura	Área
$R_{0}$	2	0	0
$R_{1}$	2	1	2
$R_{2}$	2	2	4
$R_{3}$	2	3	6
$R_{4}$	2	4	8
$R_{5}$	2	5	10
$R_{6}$	2	6	12
$R_{7}$	2	7	14
$R_{8}$	2	8	16
$R_{9}$	2	9	18
$R_{10}$	2	10	20

Completa todas tus respuestas para recibir retroalimentación.

Si tus respuestas son correctas determinaste el área de los rectángulos de forma correcta, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

En concordancia con la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra observaste que, al incrementar la longitud de la base, el área del rectángulo también aumenta, o cuando disminuye el área también disminuye la longitud de la base. Ocurre lo mismo con la altura, es decir, al incrementar o disminuir la longitud de la altura, el área del rectángulo también aumenta o disminuye en la misma proporción. Ésta es una característica de la variación directamente proporcional entre la base y el área del rectángulo, así como entre la altura y el área del rectángulo.

A continuación, revisa el recurso GeoGebra Variación del área de un cuadrilátero y sigue las instrucciones, verás cómo se construyen gráficas base versus área y altura versus área, con lo que podrás identificar el comportamiento de las gráficas para variables directamente proporcionales.

Ahora, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los recuadros correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

¿Cómo se construye la gráfica?

Uniendo los puntos con una línea recta.

¿Qué representa la gráfica?

Una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$.

¿Qué representa la gráfica área versus altura?

La variación directa entre estas variables.

Si tus respuestas son correctas vas comprendiendo el concepto de variación directa entre variables, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Con base en la gráfica de área versus base se nota que la línea recta pasa por origen $(0,0)$ y el crecimiento del área respecto a la base es en la proporción de 5 a 1, es decir, cuando la longitud de la base es 1 cm, el área del rectángulo es 5 cm², para longitud de la base 2 cm, el área del rectángulo es 10 cm², ahora con longitud de la base 3, el área del rectángulo es 15 cm², etc. Esto es otra propiedad de variables directamente proporcionales, en particular, la base y el área del rectángulo, así como la altura y el área de éste.

Aspecto algebraico del área respecto a la altura

Practicando

En esta sección retoma la tabla que aparece en el aspecto tabular del Problema área de rectángulos y determina la razón del área respecto a la altura de los rectángulos de la tabla siguiente, después escríbela en los recuadros correspondientes.

Rectángulos	Base	Altura	Área	$Razón= \frac{Área}{Altura}$
$R_{1}$	2	1	2	$\frac{2}{1}=2$
$R_{2}$	2	2	4	$\frac{4}{2}=2$
$R_{3}$	2	3	6	$\frac{6}{3}=2$
$R_{4}$	2	4	8	= $\frac{8}{4}=2$
$R_{5}$	2	5	10	= $\frac{10}{5}=2$
$R_{6}$	2	6	12	= $\frac{12}{6}=2$
$R_{7}$	2	7	14	$\frac{14}{7}=2$
$R_{8}$	2	8	16	$\frac{16}{8}=2$
$R_{9}$	2	9	18	$\frac{18}{9}=2$
$R_{10}$	2	10	20	$\frac{20}{10}=2$

Si tus respuestas son correctas quiere decir que comprendes la razón de cambio entre las variables área y altura , en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

A la expresión $Razón= \frac{Área}{Altura}$ se le llama la razón de cambio, su valor es 2 para cada rectángulo, es decir, es constante para cada rectángulo de la tabla, esto representa una regularidad que se da entre las variables área y altura, además, otra regularidad que tienen consiste en que al aumentar o disminuir la altura, el área también aumenta o disminuye. Cuando dos variables cumplen con ambas características se les llama directamente proporcionales, por lo que las variables altura y área son directamente proporcionales. Cabe mencionar que ocurre lo mismo con las variables área y base.

Ahora recuerda que el área de los rectángulos se obtuvo con la multiplicación de la base y la altura, por ejemplo, el área del rectángulo $R_{5}$ es $y=2\cdot 5=10$, mientras que la del rectángulo $R_{10}$ es $y=2\cdot 10=20$, en éstas la base permanece constante, mientras que la altura varía. Al representar a la altura con la variable $x$ y al área con la variable $y$, la expresión $y=2x$ representa el área de los rectángulos de la tabla y se obtiene con el producto de la razón de cambio (base del rectángulo) multiplicada por la altura $x$.

En la expresión $y=2x$, al despejar la razón de cambio se tiene que $\frac{y}{x}=2$ es una constante y se concluye que las variables $x,y$ son directamente proporcionales, puesto que su razón de cambio es la constante 2. A $x$ le llamamos la variable independiente, mientras que $y$ la variable dependiente. Cabe señalar que $x \neq 0$, para que la razón de cambio sea un número.