Problema 2

 

Con una barrica de 110 litros de vinagre se quiere llenar 168 botellas, unas de $\frac{1}{2}$ litro y otras de $\frac{3}{4}$ litro. ¿Cuántas botellas de cada capacidad se utilizarán?

Sistema de ecuaciones lineales

La resolución del problema la realizarás de la misma manera que el problema 1, es decir, primero resolverás cada una de las condiciones que se especifican en éste, mediante los métodos tabular y gráfico, después resolverás las dos condiciones de manera conjunta, las cuales forman un sistema de dos ecuaciones lineales de $2x2$.

Modelación de ecuaciones lineales

  1. Primera condición del problema 2

 

Datos Incógnitas Ecuación lineal
Se tienen 168 botellas

Sean $x$ las botellas de $\frac{1}{2}$ litro

Sean $y$ las botellas de $\frac{3}{4}$ de litro

$x+y=168$

 

En la resolución de la ecuación $x+y=168$, considerarás los procedimientos de tabulación y graficación.

Ejercicio de escribir

 

Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación, la incógnita $y$, la expresaremos en términos de la incógnita $x$ , para ello, consideramos la ecuación $x+y=168$, en ésta, al hacer la transposición de la incógnita $x$ al lado derecho de la ecuación se obtiene $y=168-x$, lo que significa que la incógnita y está expresada en términos de la incógnita $x$, lo cual simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores para la incógnita $x$, los valores de la incógnita y quedan determinados como se presenta en la Tabla 3.

Realiza la tabulación faltante en la tabla y escríbelas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

$x$ $y=168-x $ $x+y=168$
$0$ $y=168-0=168$ $0+168=168$
$45$
$y=168-45=123$
$45+123=168$
$78$ $y=168-78=9 0$ $78+90=16 8$
$97$
$y=168-97=71$
$97+71=168$
$105$ $y=168-105=63$ $105+63=168$
$167$
$y=168-167=1$
$167+1=168$
$168$ $y=168-168= 0$ $168+0=168$
Tabla 3

Las coordenadas de los puntos $(x,168-x)$, representan las soluciones de la ecuación. Cabe mencionar que la incógnita $x$, también, puede representarse en términos de la incógnita y, mediante la expresión $x=168-y$, y las coordenadas de los puntos $(168-y,y)$ también son las soluciones de la ecuación.


Ejercicio de escribir


Ejercicio de Geogebra



Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 3 en el plano cartesiano mediante el recurso GeoGebra , el cual te permitirá la comprensión de la solución de la condición mencionada.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

¿Qué representan las coordenadas del punto A?


Las soluciones de la ecuación

 

¿Cuántas soluciones tiene la primera condición $x+y=68$ ?


Muchas

 

¿Qué figura geométrica representan las soluciones de la primera condición?

Una línea recta

 

En congruencia con la exploración que realizaste con el recurso GeoGebra, se concluye que las coordenadas del punto A son la solución de la ecuación $x+y=168$, representan una línea recta y tiene muchas soluciones.


  1. Segunda condición del problema 2

 

Datos Incógnitas Ecuación lineal
Se tienen 110 litros de vinagre.

Sean $x$ las botellas de $\frac{1}{2}$ litro

Sean $y$ las botellas de $\frac{3}{4}$ de litro

$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$

 

Ejercicio de escribir

 

En la resolución de la ecuación $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$, considerarás los procedimientos de tabulación y graficación.

Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación de la incógnita $y$, la expresaremos en términos de la incógnita $x$.

 

Ecuación original $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$
Transponer el término $\frac{1}{2}x$ al lado derecho de la ecuación. $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}x=110-\frac{1}{2}x$
Simplificar el lado izquierdo de la ecuación $\frac{3}{4}y= 110- \frac{1}{2}x$
Multiplicación de ambos lados de la ecuación por el recíproco de $\frac{3}{4}x$ $$\frac{4}{3}\left ( \frac{3}{4}y=110-\frac{1}{2}x \right )$$
Realizar operaciones $y=\frac{440-2x}{3}$

 

La ecuación función $y=\frac{440-2x}{3}$ , simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores para la incógnita x, los valores de la incógnita y quedan determinados como se presenta en la Tabla 4.

Realiza las tabulaciones faltantes y escríbelas en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

$x$ $y=\frac{440-2x}{3}$ $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$
$0$
$$y=$$ $$=$$
$ y=\frac{440-2(0)}{3}=\frac{440}{3}$
$(0) +$ $\left ( \frac{440}{3} \right )$ $=$
$ \frac{1}{2}(0)+\frac{3}{4}\left ( \frac{440}{3} \right )=110$
$52$ $y=\frac{440-2(52)}{3}=112$ $\frac{1}{2}(52)+\frac{3}{4}(112)=110$
$64$
$$y=$$ $$=$$
$y= \frac{440-2(64)}{3}=104$
$(64) +$ $(104)$ $=$
$\frac{1}{2}\left ( 64\right )+\frac{3}{4}\left ( 104 \right )= 110$
$196$ $y=\frac{440-2(196)}{3}=16$ $\frac{1}{2}(196)+\frac{3}{4}(16)=110$
$214$
$$y=$$ $$=$$
$y=\frac{440-2(214)}{3}=4$
$(214) +$ $(4)$ $=$
$\frac{1}{2}\left ( 214\right )+\frac{3}{4}\left ( 4 \right )= 110$
$220$ $y=\frac{440-2(220)}{3}=0$ $\frac{1}{2}(220)+\frac{3}{4}(0)=110$
Tabla 4

Las coordenadas de los puntos $\left ( x,\frac{440-2x}{3} \right)$, representan las soluciones de la ecuación. Asimismo, la incógnita x, puede representarse en términos de la incógnita y, mediante la expresión $x=\frac{400-3y}{2}$ , y las coordenadas de los puntos $\left ( \frac{440-3y}{2},y \right )$, también son las soluciones de la ecuación.


Ejercicio de escribir


Ejercicio de Geogebra


Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 4 en el plano cartesiano, mediante el recurso GeoGebra , el cual te permitirá comprensión de la solución de la condición mencionada.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

¿Qué representan las coordenadas del punto A?


Las soluciones de la ecuación

 

¿Cuántas soluciones tiene la segunda condición $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$ ?


Muchas

 

¿Qué figura geométrica representan las soluciones de la segunda condición?


Una línea recta

 

Con base en la exploración que realizaste con el escenario de trabajo, se concluye que las coordenadas del punto B son la solución de la ecuación $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$, representa una línea recta y tiene muchas soluciones.


Ahora retoma las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales y determina la solución de ambas mediante los métodos tabular y gráfico.

Ejercicio de escribir

En la tabla 5 se te presentan algunas botellas y las dos condiciones que deben satisfacerse, la primera es $x+y=168$ y la segunda $ \left\{\begin{matrix} x+y=168\\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y=110 \end{matrix}\right.$ .

Elige el número de botellas que se necesitan para almacenar 110 litros de vinagre que cumplan ambas condiciones y escríbelos en los espacios que se te solicita.

 

$x$ $y$ $x+y=168$ $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}y=110$
$0$ $168$ $168$ $\frac{1}{2}(0)+\frac{3}{4}(168)=126$
$48$ $120$ $168$ $\frac{1}{2}(48)+\frac{3}{4}(120)=122$
$64$ $104$ $168$ $\frac{1}{2}(64)+\frac{3}{4}(104)=110$
$100$ $68$ $168$ $\frac{1}{2}(110)+\frac{3}{4}(68)=101$
$168$ $0$ $168$ $\frac{1}{2}(168)+\frac{3}{4}(0)=84$
Tabla 5

 

$$x=$$
$x=64$
$$y=$$
$y=104$

El número de botellas de $\frac{1}{2}$ litro son $x=64$ y las de $\frac{3}{4}$ de litro son $y=104$, puesto que son los únicos que cumplen con ambas condiciones del problema, es decir, satisfacen al sistema de ecuaciones $ \left\{\begin{matrix} x+y=168\\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y=110 \end{matrix}\right.$, puesto que $64+104=168$ y $\frac{1}{2}(64)+\frac{3}{4}(104)=110$.

Ejercicio de escribir


Ejercicio de Geogebra

 

La solución gráfica de ambas condiciones del problema 2, requiere que grafiques a su vez, la solución gráfica de cada una de las condiciones del problema mencionado en el plano cartesiano.

Para que hagas esto el recurso GeoGebra , te permitirá hacer la gráfica y comprender dicha solución del sistema de ecuaciones lineales del problema mencionado.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y las respuestas escríbelas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

 

 

¿Qué representan las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas?


La solución del sistema

 

¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas?


$(64,104)$

 

¿Cuántas soluciones comunes tienen ambas rectas?


Solo una

 

Con base en la exploración que realizaste con el escenario de trabajo, se concluye que las coordenadas de los puntos A y B, coinciden en el punto de intersección de ambas rectas y es la solución del sistema de ecuaciones $ \left\{\begin{matrix} x+y=168\\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y=110 \end{matrix}\right.$ . La solución del sistema es punto de coordenadas $(64,104)$ y es única, puesto que suman $168$ y $110$, respectivamente.


Ejercicio de escribir


En congruencia con la tabla y gráfica se concluye que las coordenadas $(x,168-x)$ son soluciones de la ecuación $x+y=168$, mientras que las coordenadas $\left ( x,\frac{440-2x}{3} \right )$, son las soluciones de la ecuación $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$. En ambas parejas ordenadas la primera coordenada $x$ es igual.

Para obtener la solución común de ambas ecuaciones, ¿qué condición deben satisfacer las segundas coordenadas? La respuesta escríbela en el recuadro azul.

 


Las segundas coordenadas deben ser iguales

 

 

De acuerdo, las segundas coordenadas de los puntos deben ser iguales, lo que da entrada a la resolución del sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación.


Para que revises otro ejemplo, revisa el Problema 3.