Leyes de los exponentes

En este apartado aplicarás los aprendizajes que lograste sobre el significado de las potencias para facilitar el descubrimiento de regularidades de la operatividad con potencias y la formulación de las leyes de sus exponentes. Para ello, te apoyarás con recursos GeoGebra y posteriormente revisarás algunos ejemplos.

Da clic en cada pestaña para revisar cada ley.

Primera ley de los exponentes

Cuando dos potencias de una misma base común se multiplican, la potencia es igual a la base elevada a la suma de los exponentes, su representación algebraica es $(a)^m\cdot{}(a)^n=(a)^{m+n}$.

A continuación te presentamos un recurso GeoGebra en el que podrás comprobar cómo ocurre lo anterior, para ello deberás arrastrar los deslizadores (a), m y n y observar las potencias que se generan con una base igual y con el exponente indicado.

Te darás cuenta que al efectuar su producto se obtiene la potencia con la misma base teniendo como exponente la suma de ambos exponentes.

Da clic en Primera ley de los exponentes para ir al recurso GeoGebra.

geogebra

Como pudiste observar en el recurso GeoGebra, se obtuvieron potencias con igual base y el exponente indicado, lo que permite la formulación de la primera ley de los exponentes, la cual es:

$(a)^m\cdot{}(a)^n=(a)^{m+n}$

Ahora revisa los siguientes ejemplos y observa con atención la aplicación y desarrollo de la fórmula:

a
(Base)
m
(potencia)
n
(potencia)
$a^m$ $a^n$ $a^m{\cdot{}a}^n$ $a^{m+n}$
2 4 5 $2^4$ $2^5$ $2^4{\cdot{}2}^5$ $2^9$
5 7 -9 $5^7$ $7^{-9}$ $5^7{\cdot{}5}^{-9}$ $5^{-2}$

Segunda ley de los exponentes

Cuando una potencia se divide con otra de la misma base, la potencia es igual a la base elevada al exponente que resulta de la diferencia del exponente de la potencia del numerador y el exponente de la potencia del denominador, su representación es:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

En el siguiente recurso GeoGebra podrás comprobar cómo ocurre esto para casos particulares, lo que te permitirá establecer su generalización a través del método inductivo. Para ello, arrastra los deslizadores (a), m y n y notarás que se obtienen dos potencias con la misma base y como exponente el indicado en el recurso, en la división de ambas identificarás la regularidad que presenta la diferencia de sus exponentes.

Da clic en Segunda ley de los exponentes para ir al recurso GeoGebra.

geogebra

Como pudiste observar en el recurso GeoGebra, al arrastrar los deslizadores se obtuvieron potencias con igual base y el exponente indicado en la división, lo cual permite la identificación de la regularidad que presenta la diferencia de sus exponentes para casos particulares y su generalización.

Ahora revisa los siguientes ejemplos en los que se muestran dos formas de obtener la división de dos potencias:

Primera forma: Restar los exponentes.

a
(Base)
m
(potencia)
n
(potencia)
${(a)}^m$ ${(a)}^n$ $\frac{{\left(a\right)}^m}{{\left(a\right)}^n}$ ${\left(a\right)}^{m-n}$
2 9 5 ${(2)}^9$ ${(2)}^5$ $\frac{{\left(2\right)}^9}{{\left(2\right)}^5}=2^4$ $2^{9-5}=2^4$
7 8 -3 ${(7)}^8$ ${(7)}^{-3}$ $\frac{{\left(7\right)}^8}{{\left(7\right)}^{-3}}={\left(7\right)}^{11}$ $7^{8-(-3)}=7^{8+3}=7^{11}$
5 3 3 ${(5)}^3$ ${(5)}^3$ $\frac{{\left(5\right)}^3}{{\left(5\right)}^3}=1$ $5^{3-3}=5^0=1$

Cabe mencionar que, en la división de dos potencias con el mismo exponente, la potencia resultante tiene como exponente 0 y como toda potencia elevada al exponente 0 es 1, justifica que $\frac{5^1}{5^1}=5^{1-1}=5^0$, por lo que se concluye que $a^{0}=1$, y para el caso general $5^0=1$, para $a\not=0$.

Segunda forma: Representar las potencias como una multiplicación y simplificarlas.

formula

$\frac{{\left(7\right)}^8}{{\left(7\right)}^{-3}}={\left(7\right)}^8{{\left(7\right)}^3={\left(7\right)}^{8+3}=\left(7\right)}^{11}$, recordemos que $\frac{1}{7^{-3}}=7^3$ y que el producto de potencias como base igual, se suman los exponentes.


$\frac{{\left(5\right)}^3}{{\left(5\right)}^3}=\frac{5\cdot{}5\cdot{}5}{5\cdot{}5\cdot{}5}=1$

Tercera ley de los exponentes

Una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes de las potencias, es decir, ${\left(a^m\right)}^n={\left(a\right)}^{mn}$.

Entra al recurso GeoGebra en el que podrás comprobar esta ley en casos particulares, mediante los cuales se permitirá su generalización a través del método inductivo. Para ello, arrastra los deslizadores (a, m y n), notarás que se obtienen dos potencias, la primera tiene base $a$ y exponente $m$, mientras que la segunda tiene como base la primera potencia y como exponente $n$, especificados en el recurso, en la potencia de la potencia identificarás la regularidad que presentan los exponentes.

Da clic en Tercera ley de los exponentes para ir al recurso GeoGebra.

geogebra

Con el recurso anterior puedes observar que al arrastrar los deslizadores se obtiene una potencia y luego la potencia de la potencia, lo que permite la identificación de la regularidad que presenta el producto de los exponentes para casos particulares y su generalización, y con ello la formulación de la tercera ley de los exponentes:

${\left(a^m\right)}^n={\left(a\right)}^{mn}$

Ahora observa los siguientes ejemplos en los que se muestran dos formas de obtener la división de dos potencias:

Primera forma: Multiplicar los exponentes de la primera y segunda potencia.

a
(Base)
m
(potencia)
n
(potencia)
${(a)}^m$ $(a^m)^n$ $a^{mn}$
$\frac{3}{2}$ 5 3 ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{3}$ ${\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^5\right)}^3$ ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{15}$
-7 2 5 ${(-7)}^2$ ${\left({\left(-7\right)}^2\right)}^5$ ${(-7)}^{10}$

Segunda forma: Representar la multiplicación repetida de la primera potencia como lo indica el exponente de la segunda potencia, y como son potencias de la misma base se suman los exponentes.

${\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^5\right)}^3={\left(\frac{3}{2}\right)}^5\cdot{}{\left(\frac{3}{2}\right)}^5\cdot{}{\left(\frac{3}{2}\right)}^5={\left(\frac{3}{2}\right)}^{15}$


${\left({\left(-7\right)}^2\right)}^5={\left(-7\right)}^2\cdot{}{\left(-7\right)}^2\cdot{}{\left(-7\right)}^2\cdot{}{\left(-7\right)}^2\cdot{}{\left(-7\right)}^2={\left(-7\right)}^{10}$


La generalización de los ejemplos particulares es mediante la expresión ${\left(a^m\right)}^n=a^m\cdot{}\ a^m\cdot{}a^m\cdot{}a^m\cdot{}a^m\cdot{},…,a^m\cdot{}a^m$, n veces el producto $a^m$. El producto de n veces la potencia $a^m$, significa la suma de $n$ veces $m$, la cual se escribe como $mn$, luego ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$.

Cuarta ley de los exponentes

El producto de dos números elevados a la potencia $m$, es igual al producto de la potencia $m$ de cada número, es decir, ${\left(ab\right)}^m=a^mb^m$. En el siguiente escenario puedes comprobar cómo ocurre esto para casos particulares, los cuales te permitirán su generalización a través del método inductivo. Para ello, arrastra los deslizadores (a, b y m), notarás que se obtienen dos potencias, la primera tiene base $a$ y exponente $m$, mientras que la segunda tiene base $b$ y exponente $m$, tal como lo puedes apreciar en el recurso Geogebra. Comprueba que se cumple esta ley para los casos particulares.

Da clic en Cuarta ley de los exponentes para ir al recurso GeoGebra.

geogebra

A través del recurso anterior pudiste observar que al arrastrar los deslizadores se obtuvieron potencias con base diferente e igual exponente, lo que te permitió la formulación de la quinta ley de los exponentes:

${\left(ab\right)}^m=a^mb^m$

Ahora revisa el siguiente ejemplo en el que se aplica esta ley:

a
(Base)
m
(potencia)
n
(potencia)
${(ab)}^m$ Producto de $m$ veces $(ab)$ ${\left(a\right)}^m\cdot{}{\left(b\right)}^m$
-7 2 5 ${\left(-7\cdot{}2\right)}^5$ $\left(-7\cdot{}2\right)\cdot{}\left(-7\cdot{}2\right)\cdot{}\left(-7\cdot{}2\right)\cdot{}$
$\left(-7\cdot{}2\right).\left(-7\cdot{}2\right)={\left(-7\right)}^5\cdot{}2^5$
${\left(-7\right)}^5\cdot{}{\left(2\right)}^5$

El ejemplo muestra que se cumple la ley ${\left(ab\right)}^m=a^mb^m$ para casos particulares. Ahora pasamos a la comprobación de la ley considerando las bases $a$ y $b$ de cualquier número real y con exponente $m$. Al desarrollar la potencia se tiene ${\left(ab\right)}^m=\left(ab\right)\cdot{}\left(ab\right)\cdot{}\left(ab\right)\cdot{}\left(ab\right)\cdot{}\left(ab\right),…,\ \left(ab\right)\cdot{}\left(ab\right)$, $m$ veces el producto $(ab)$ , es decir, ${\left(ab\right)}^m=(a\cdot{}a\cdot{}a\cdot{}a\cdot{}a,…,\ a\cdot{}a)(b\cdot{}b\cdot{}b\cdot{}b\cdot{}b.,…,b\cdot{}b$, por lo que ${\left(ab\right)}^m={\left(a\right)}^m\cdot{}{\left(b\right)}^m$.

Quinta ley de los exponentes

La división de dos números elevado a la $m-\acute{e}sima$ potencia es igual al cociente de las $m-\acute{e}sima$ potencias de tales números, es decir, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$. En el siguiente recurso puedes comprobar como ocurre esto para casos particulares, los cuales te permitirán su generalización a través del método inductivo. Para ello, arrastra los deslizadores (a, b y m), notarás que se obtienen dos potencias, la primera tiene base $a$ y exponente $m$, mientras que la segunda tiene base $b$ y exponente $m$, tal como lo puedes apreciar en el recurso Geogebra; en la división de ambas podrás identificar la regularidad que presentan.

Da clic en Quinta ley de los exponentes para ir al recurso GeoGebra.

geogebra

Con el recurso anterior pudiste observar que al arrastrar los deslizadores se obtuvieron potencias con base diferente e igual exponente, lo que permite la formulación de la quinta ley de los exponentes:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}$

Ahora revisa la siguiente tabla en la que se presentan dos ejemplos con los que se aplica esta ley.

a
(Base)
m
(potencia)
n
(potencia)
${\left(\frac{a}{b}\right)}^m$ $\frac{{\left(a\right)}^m}{{\left(b\right)}^m}$
2 3 5 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^5$ $\frac{{\left(2\right)}^5}{{\left(3\right)}^5}$
3 -7 6 ${\left(\frac{3}{-7}\right)}^6$ $\frac{{\left(3\right)}^6}{{\left(-7\right)}^6}$

Comprobación de que se cumple la ley para los valores especificados en la tabla:

$\left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\left ( \frac{2}{3} \right )\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )=\frac{2^{5}}{3^{5}}$ por lo que $\left ( \frac{2}{3} \right )^{5}=\frac{2^{5}}{3^{5}}$

$\left ( \frac{3}{-7} \right )^{6}=\left ( \frac{3}{-7} \right )\cdot \left ( \frac{3}{-7} \right )\cdot \left ( \frac{3}{-7} \right )\cdot \left ( \frac{3}{-7} \right )\cdot \left ( \frac{3}{-7} \right )\cdot \left ( \frac{3}{-7} \right )=\frac{3^{6}}{-7^{6}}$ por lo que $\left ( \frac{3}{-7} \right )^{6}=\frac{3^{6}}{-7^{6}}$

Los ejemplos muestran que se cumple la ley $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}=\frac{(a)^{m}}{(b)^{m}}$ para casos particulares. Ahora se pasa a la generalización de la ley considerando las bases $a$ y $b$ cualesquiera números reales y exponente $m$. Al desarrollar la potencia del cociente se tiene $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}=\left ( \frac{a}{b} \right )\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )\cdot ,...,\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )\cdot \left ( \frac{a}{b} \right )$, $m$ veces el producto $\left(\frac{a}{b}\right)$, es decir, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{\left(a\cdot{}a\cdot{}a\cdot{}a\cdot{}a.,…,a\cdot{}a\right)}{b\cdot{}b\cdot{}b\cdot{}b\cdot{}b.,…,b\cdot{}b}=\frac{{\left(a\right)}^m}{b^m}$, por lo que $\left ( \frac{a}{b} \right )^{m}=\frac{(a)^{m}}{(b)^{m}}$.

Alumno: