Introducción

Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas nos ayudan a resolver gran variedad de problemas, como son el cálculo de cantidades diversas, intereses en un préstamo o inversión bancarios, porcentajes en mezclas, costos y precios de mercancías, etc. Una ecuación con dos variables o incógnitas tiene muchas soluciones, pero un sistema de ecuaciones puede tener únicamente una solución, ya que debe cumplir a la vez con las dos ecuaciones. Cada ecuación del sistema expresa una condición y, por lo tanto, tiene varias soluciones, por lo que la solución común de ambas es la solución del sistema.

finanzas
Mezclas

Se tienen diferentes métodos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones: tanteo, gráfico, igualación, sustitución, suma o resta y determinantes; pero en este material sólo se trata el método de sustitución y su relación con el método gráfico, esto con el fin de comprender mejor la solución del sistema. Por otro lado, se utilizan recursos dinámicos en todos los aspectos gráficos para facilitar la comprensión de los conceptos.

Primero, se inicia con el planteamiento de un problema y se resuelve utilizando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución se encuentra primero por el método gráfico, que se toma de referencia para comprender la solución del sistema por el método de sustitución, que se ve a continuación. Se resuelven después otros sistemas de ecuaciones con el mismo método de sustitución y, finalmente, se plantean sistemas de ecuaciones y problemas para que los resuelvas con el mismo método.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es del tipo $ax+by=c$, donde $x$, $y$ son las incógnitas mientras que $a$, $b$ y $c$ son valores constantes, por ejemplo, en la ecuación $2x+3y=20$; $2,3$ y $20$ son constantes y las incógnitas son $x$, $y$; su gráfica es una recta y tiene infinidad de soluciones. Una solución de esta ecuación es $x=1$, $y=6$ ya que, sustituyendo estos valores en la ecuación y haciendo las operaciones indicadas, observamos que se cumple la igualdad de la ecuación: $2(1)+3(6)=20$. Otra solución es $x=2.5$, $y=5$ ya que se cumple la igualdad $2(2.5)+3(5)=20$, etc., pero un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas puede tener solución única, infinidad de soluciones o ninguna solución, ya que se deben cumplir las dos ecuaciones con los mismos valores de $x,y$. Por ejemplo, el sistema $\left\{\begin{matrix}2x+y=7\\ x-2y=-4\end{matrix}\right.$ tiene solución única, con $x=2$, $y=3$ ya que, si sustituyes estos valores en ambas ecuaciones, se cumple la igualdad en las dos.

Con este material resolverás correctamente sistemas de ecuaciones lineales de dos variables por el método de sustitución, para resolver problemas que involucran estos sistemas.