Problema de los tacos

En la taquería el “El Fogón” Ernesto se comió 3 tacos de bistec y 2 de pastor, por los cuales pagó 46, mientras que su novia Silvia se comió 2 tacos de bistec y 3 de pastor por los que pagó 39. ¿Cuál es el precio de un taco de bistec y uno de pastor?

Tacos
Planteamiento

Si representamos por:

$x$ es el precio de un taco de bistec

$y$ es el precio de un taco de pastor

Se tiene lo siguiente:

$3x$ es el cobro por tres tacos de bistec que se comió Ernesto.

$2y$ es el cobro por dos tacos de pastor que se comió Ernesto.

$2x$ es el cobro por dos tacos de bistec que se comió Silvia.

$3y$ es el cobro por tres tacos de pastor que se comió Silvia.

Con base en la información anterior, escribe las respuestas en los espacios donde correspondan, para plantear el sistema de ecuaciones que resuelve el problema de los tacos.

El sistema de ecuaciones que cumple las condiciones para resolver el problema es:

$3y$     $2x$     $3x$ $2y$

Completa todas tus respuestas para recibir retroalimentación.
Ec. 1    
$3x$
    $+$    
$2y$
    $46$ (Cuenta de lo que se comió Ernesto)
Ec. 2    
$2x$
    $+$    
$3y$
    $39$ (Cuenta de lo que se comió Silvia)

Si tus respuestas son correctas comprendiste el proceso para plantear el sistema de ecuaciones que resuelve el problema, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Solución por el método gráfico

A continuación, revisa los diferentes pasos del método gráfico para solucionar el problema dando clic en cada una de las pestañas. Sigue las indicaciones y contesta lo que se pide en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Recuerda que:

$x$ precio de un taco de bistec

$y$ precio de un taco de pastor

Se despeja una incógnita en ambas ecuaciones

Para resolver el problema por el método gráfico, se pueden construir las gráficas de cada una de las ecuaciones en un mismo sistema cartesiano por medio de una tabulación, como se hizo en el problema de las monedas, y se presentan las gráficas correspondientes.

Ec. 1        $3x+2y=46$ (Cuenta de lo que se comió Ernesto)

$3x+2y-3x=46-3x$

$2y=46-3x$

$\frac{2y}{2}=\frac{46-3x}{2}$

$y=\frac{46-3x}{2}$

Ec. 2        $2x+3y=39$ (Cuenta de lo que se comió Silvia)

$2x+3y-2x=39-2x$

$3y=39-2x$

$\frac{3y}{3}=\frac{39-2x}{3}$

$y=\frac{39-2x}{3}$

Tabulación de las ecuaciones

Para calcular los valores de la siguiente tabla, observa cómo se calculan, a su vez, los valores de $y$ en la cuenta de Ernesto y en la cuenta de Silvia.

En la cuenta de Ernesto:

Si $x=1$, $y=\frac{46-3x}{2}=\frac{46-3(1)}{2}=21.50$. Se obtiene el punto $(1,21.50)$

Si $x=2$, $y=\frac{46-3x}{2}=\frac{46-3(2)}{2}=20.00$. Se obtiene el punto $(1,20.00)$

En la cuenta de Silvia:

Si $x=1$, $y=\frac{39-2x}{3}=\frac{39-2(1)}{3}=12.33$, se obtiene el punto $(1,12.33)$

Si $x=2$, $y=\frac{39-2x}{3}=\frac{39-2(2)}{3}=11.66$, se obtiene el punto $(1,11.66)$

Practicando

De la misma manera se pueden calcular los demás valores de la siguiente tabla, escribe los que faltan en los espacios correspondientes y al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Precio de un taco de bistec Precio de un taco de pastor en cuenta de Ernesto $y=\frac{46-3x}{2}$ Precio de un taco de pastor en cuenta de Silvia $y=\frac{39-2x}{3}$
$1$ $21.50$ $12.33$
$2$ $20.00$
$11.66$
$3$ $18.50$ $11.00$
$4$
$17.00$
$10.33$
$5$ $15.50$ $9.66$
$6$ $14.00$ $9.00$
$7$
$12.50$
$8.33$
$8$ $11.00$ $7.66$
$9$ $9.50$
$7.00$
$10$ $8.00$ $6.33$
$11$ $6.50$ $5.66$
$12$
$5.00$
$5.00$
$13$ $3.50$
$4.33$
$14$ $2.00$ $3.66$
$15$
$0.50$
$3.00$

Si tus respuestas son correctas hiciste la tabulación de ecuaciones en un sistema de forma adecuada, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Solución gráfica del sistema
geogebra

A continuación, revisa el recurso GeoGebra Problema de las tacos; observa en el escenario las coordenadas de los puntos y sigue las instrucciones.

Como pudiste observar en el escenario que se presenta, la recta de color azul es la gráfica de todos los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 1 $3x+2y=46$, mientras que la recta de color rojo es la gráfica de todos los puntos B que cumplen con la condición de la ecuación Ec. 2. En el problema sólo la parte sólida de las rectas tiene sentido cuando tanto el precio $x$, lo mismo que el precio $y$, son positivos.

Comprobación

La solución gráfica del sistema de ecuaciones es el punto de intersección de ambas (C), cuando los puntos A y B son iguales, ya que en este punto las incógnitas $x$,$y$ tienen los mismos valores y cumplen con las condiciones de las dos ecuaciones del sistema.

Finalmente, se da la respuesta al problema que se propuso resolver, utilizando la solución encontrada del sistema, con el significado que se dio a las incógnitas para comprobar que el problema mismo se resolvió correctamente.

Se verifica que la respuesta dada cumpla con las condiciones del problema, porque puede suceder que se resuelvan las ecuaciones muy bien pero el problema no, por algún error que se haya cometido en el planteamiento.

Ernesto paga:

$3(\$$
$12$
$)+2(\$$
$5$
$)=\$$
$36$
$+\$10=\$46$

Silvia paga:

$2(\$$
$12$
$)+3(\$$
$5$
$)=\$24+\$$
$15$
$=\$39$

Si tus respuestas son correctas realizaste adecuadamente el proceso de comprobación para la solución encontrada en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Con las operaciones anteriores se puede constatar que se cumple lo que pagaron Ernesto y Silvia, respectivamente, por lo que se concluye que la respuesta dada al problema es correcta.

Solución por el método de sustitución

Ahora se resuelve el sistema de ecuaciones del problema de los tacos de manera algebraica por el método de sustitución, a través del siguiente esquema de cuatro pasos. Da clic en las pestañas para seguir el procedimiento.

Sigue las indicaciones y contesta lo que se pide en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$3x+2y=46$     Ec. 1

$2x+3y=39$     Ec. 2

Se despeja la incógnita $y$ de cualquiera de las dos ecuaciones

Esto se hace para encontrar la representación algebraica de los puntos que representan la solución de una de las ecuaciones. Se escoge despejar de la ecuación Ec. 1, y se obtiene Ec. 1’:

Ec. 1     $3x+2y=46$

$3x+2y-$
$3x$
$=46-$
$3x$

(se resta 3x a ambos lados de la ecuación)

$2y=46-$
$3x$

(se simplifica)

$2y=$
$46-3x$
$\frac{2y}{2}=\frac{46-3x}{2}$

(se divide entre 2 ambos lados de la ecuación)

Ec. 1’     $y=\frac{46-3x}{2}$

(se simplifica)

Por tanto, los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 1 son $A=(x,y)=\left (x, \frac{46-3x}{2} \right)$

Si tus respuestas son correctas comprendiste el proceso para despejar una incógnita en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Se sustituye $y$ de la ecuación Ec. 1’ en la ecuación Ec. 2 del sistema

Para que los puntos $A=(x,y)=\left (x, \frac{46-3x}{2} \right )$ que cumplen con la ecuación Ec. 1 cumplan también con la ecuación Ec. 2, se requiere que sus valores $(x,y)$ sean los mismos, por lo que Ec. 1’ $y= \frac{46-3x}{2}$ se sustituye en la ecuación Ec. 2 $2x+3y=39$, y se resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita para obtener su valor, como se muestra a continuación.

Escribe las respuestas en los espacios que correspondan y al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$2x+3y=$
$39$
   
Ec. 2
$2x+3$ $($
$)$$\frac{46-3x}{2}$ $=39$

(se sustituye y de Ec. 1’)

$2x+3(23-$
$1.5x$
$)=$
$39$

(ya que $\frac{46-3x}{2}=\frac{46}{2}-\frac{3x}{2}=23-1.5x$)

$2x+$
$69$
$-$
$4.5$
$x=39$

(se simplifica)

$-2.5x+69 =$
$39$

(se simplifica)

$-2.5x+69-$
$69$
$=39-69$
(se resta
$69$
en ambos lados de la ecuación)
$-2.5x =-30$

(se simplifica)

$-2.5x$
$-2.5$
$=$
$-30$
$\frac{-30}{-2.5}$
(se divide entre
$-2.5$
ambos lados de la ecuación)
$x=12$

(se simplifica)

Si tus respuestas son correctas realizaste adecuadamente el proceso para sustituir incógnitas en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Se sustituye el valor encontrado $x=12$

Esto se hace en cualquiera de las ecuaciones que tenga las dos incógnitas para obtener el valor de la otra. Ahora, se escoge la ecuación Ec. 1’.

Escribe las respuestas en los espacios que correspondan y al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$y=\frac{46-3x}{2}$     Ec. 1’

$y=$
$46-3($ $)$
$2$
$y=\frac{46-3(12)}{2}$
$y=$
$46-$
$2$
$y=\frac{46-36}{2}$
$y=$
$2$
$y=\frac{10}{2}$
$y=$
$5$

Si tus respuestas son correctas realizaste adecuadamente el proceso para sustituir incógnitas en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Comprobación

Finalmente, se sustituyen los valores encontrados $x=12$, $y=5$ en cada una de las ecuaciones originales para verificar que se cumplan.

$3x+2y=46$     Ec. 1
$3($
$12$
$)+2($
$5$
$)=$
$46$
$36+$
$10$
$=46$
$46$
$=49$
$2x+3y=39$     Ec. 2
$2($
$12$
$)+3($
$5$
$)=$
$39$
$24$
$+15=34$
$39$
$=39$

La solución es correcta porque ambas ecuaciones cumplen con la solución encontrada:

$x=$
$12$
, $y=$
$5$

Si tus respuestas son correctas realizaste adecuadamente el proceso de comprobación para la solución encontrada en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Con la comprobación dada en el Paso 4 se termina de resolver correctamente el sistema de ecuaciones del Problema de los tacos por el método de sustitución. Observa que se encontró exactamente la misma solución que con el método gráfico.

Nota: Es necesario verificar la solución en cada una de las ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta, porque puede suceder que la solución encontrada sólo se cumpla en una ecuación, pero no en la otra.