d. Obtención de la función…

d. Obtención de la función lineal a partir de la gráfica (dos puntos)

Como parte de la comprensión del concepto de la función lineal, es necesario obtener el proceso inverso a la descripción de la gráfica a partir de sus parámetros; es decir, dados dos puntos de la gráfica, es posible determinar la función lineal asociada.

Practicando

Revisa cada una de las pestañas en las que se ejemplifica lo anteriormente señalado.

Retomando el problema de la caminadora

¿Te acuerdas del Problema de la caminadora? Al iniciar ($t=0$) la atleta no ha recorrido ninguna distancia ($d=0$). Pero al terminar su entrenamiento en $t=40$ minutos ha recorrido una distancia $d=8$ Km. Utilicemos estos dos puntos de referencia para determinar la función lineal asociada $y=mx+b$, en ésta sólo falta determinar el valor de la razón de cambio $m$ (rapidez de cambio).

Completa la respuesta para recibir retroalimentación.
Tiempo ($t$) [min] Distancia ($d$) [km]
$0$ $0.0$
$40$
$8.0$
Función lineal
Datos $A(0,0) y B(40,8)$
Obtención de la razón de cambio. Se divide la variación de la variable dependiente que se forma con la diferencia de las ordenadas de los puntos A y B, entre la variación de la variable independiente que se forma con la diferencia de las abscisas de los mismos puntos. $\mathbf{a}=\frac{((8)-(0))}{((40)-(0))}= \mathbf{0.2}$
Obtención del parámetro o condición inicial. Se despeja b de la función y se utilizan las coordenadas de cualquiera de los puntos A y B. $$y = \mathbf{m}x + b$$ $$b = y - \mathbf{m}x$$
En ambos casos la condición inicial $b=0$. $b=(0)-0.2(0)=0$
Por lo que la función lineal es $b=(8)-0.2(40)= 0$
$y=0.2x$
Retomando el problema del celular

¿Te acuerdas del Problema del celular? Cuando no se ha hablado nada en el tiempo inicial ($t=0$) no ha generado ningún costo ($c=0$). Después de hablar 25 minutos ($t=25$), se agota un saldo de $\$50$ ($c=50$). Utilicemos estos dos puntos de referencia para determinar la ecuación asociada.

Tiempo ($t$) [min] Costo ($c$) [$]
$0$ $0$
$25$
$\$50$
Función lineal
Datos $\mathbf{A(0,0)}, \mathbf{B(25,50)}$
Obtención de la razón de cambio. Se divide la variación de la variable dependiente que se forma con la diferencia de las ordenadas de los puntos A y B, entre la variación de la variable independiente que se forma con la diferencia de las abscisas de los mismos puntos. $\mathbf{a}=\frac{((50)-(0))}{((25)-(0))}= \mathbf{2}$
Obtención del parámetro o condición inicial. $$y = \mathbf{a}x + b$$ $$b = y - \mathbf{a}x$$
Despejando a partir del punto $A(0,0)$: $x=0$, $y=0$. $b = (0)- \mathbf{2}(0) = \mathbf{0}$
O bien, despejando a partir del punto $B(25,50)$ : $x=25$, $y=50$. $b = (50)- \mathbf{2}(25) = \mathbf{0}$
Observa que utilizando cualquiera de los dos puntos, la condición inicial $b$ sigue siendo igual.
Sustituyendo en la expresión algebraica. $y=2$

Con el siguiente ejercicio determinarás la función lineal que se presenta en la gráfica, mediante el cociente de la variación del cambio de la variable dependiente entre el cambio de la variable independiente, para que obtengas la función lineal al sustituir la razón de cambio en ésta.

Observa la gráfica y considera los datos que contiene para completar los espacios correspondientes de la tabla. Al finalizar, da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Función lineal

Considera

Datos $A$
$4$
,
$8$
y $B($
$-2$
,
$-4$
$)$
Obtención de la razón de cambio
$\mathbf{m} = \frac{ ((8)-(-4)) }{ ((4)-(-2)) } = \mathbf{2}$
Obtención del parámetro o condición inicial $$y=mx+b$$ $$b=y-mx$$
Despejando a partir del primer punto $b=($
$8$
$)-2($
$4$
$)=$
$0$
Despejando a partir del segundo punto $b=($
$-4$
$)-2($
$-2$
$)=$
$0$
Sustituyendo en la expresión algebraica
$y$
$=$
$2x$
Generalización de la razón de cambio

Ahora verás el procedimiento para determinar la función $y=ax+b$, considerando las coordenadas de los puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$:

  1. Identificar dos puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$.
  2. Obtener la razón de cambio $\mathbf{m} = \frac { (y_1-y_2) } { (x_1-x_2) }$
  3. Obtener la ordenada al origen, despejar desde $y=mx+b$: $$b=y-mx$$
    Como los puntos $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$ pertenecen a la gráfica de la función y al sustituir sus coordenadas en la ordenada al origen se obtiene: $$b = y_1-\mathbf{m}x_1$$ $$b = y_2-\mathbf{m}x_2$$
  4. Para cualquier punto la ecuación queda como: $y=mx+b$

A continuación, contesta las preguntas, al finalizar da clic en el botón Verificar para recibir retroalimentación.

¿Qué sucede cuando los puntos están muy próximos o ambos se ubican sobre el eje $x$?

La rapidez de variación se incrementa y la gráfica se vuelve vertical.

¿Qué sucede cuando los puntos están muy próximos o ambos se ubican sobre el eje $y$?

La rapidez de variación se acerca a cero y la gráfica se vuelve horizontal, se trata de una función lineal constante.

¿Qué sucede cuando la gráfica cruza el origen?

La condición de inicio se vuelve cero y no es necesario representar el parámetro constante.


Ejercicio de Geogebra

Entra al recurso GeoGebra PENDIENTE 08 y sigue las instrucciones. A través del escenario interactivo podrás revisar el procedimiento de cálculo de la función lineal a partir de dos puntos de la gráfica, para ello, determina las formas de la función lineal vistas previamente, es decir, trata de generar razones de cambio positivas y negativas ($m$ también conocidas como parámetro lineal, tienen una “pendiente” o dirección de la gráfica ascendente y descendente dependiendo del signo) de la gráfica.

Te resultará de ayuda responder cuestionamientos como ¿qué sucede cuando los puntos están próximos en los ejes $x$ o $y$?, considerando que éstos determinen si la gráfica pasa por el origen (función lineal) o se desplaza dentro del escenario. Al finalizar, deberás lograr una intuición sobre las formas de gráficas que se generan cuando varían los parámetros de la razón de cambio ($m$) y de la condición inicial ($b$).

Practicando

Con el siguiente ejercicio profundizarás en los procedimientos algebraicos realizados para determinar la función lineal, mediante tu interacción y exploración de los procesos presentados en el recurso GeoGebra en la obtención de la razón de cambio y la función lineal, para que la apliques en la resolución de problemas que involucran a la función lineal.

A partir de los siguientes puntos, determina cuál es la expresión algebraica de la función lineal. Da clic en las pestañas y sigue las instrucciones, puedes auxiliarte del recurso interactivo de GeoGebra anterior. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Utiliza los dos puntos: $A(4,8)$ y $B(–2,–4)$

¿Cuál es la función lineal asociada a estos dos puntos?

$y=$
$2$
$x$
Función lineal
Datos $A(4,8) y B(-2,-4)$
Obtención de la razón de cambio $m=\frac{((8)-(-4))}{((4)-(-2))} = 2$
Obtención del parámetro inicial $$y = mx + b$$ $$b = y –mx$$
Despejando a partir del primer punto $b=(8)-2(4)=0$
Despejando a partir del segundo punto $b=(-4)-2(–2)=0 $
Sustituyendo en la expresión algebraica $y=-2x$

Utiliza los dos puntos: $A(-2,9)$ y $B(3,–1)$

¿Cuál es la función lineal asociada a estos dos puntos?

$y=$
$-2$
$x+$
$5$
Función lineal
Datos $A(-2,9) y B(3,-1)$
Obtención de la razón de cambio $m=\frac{((9)-(-2))}{((-2)-(-3))} =-2$
Obtención del parámetro inicial $$y = mx + b$$ $$b = y –mx$$
Despejando a partir del primer punto $b=(9)-(-2)(-2)=5$
Despejando a partir del segundo punto $b=(-1)-(–2)(3)=5$
Sustituyendo en la expresión algebraica $y=-2x+ 5$

Con base en lo anteriormente realizado, responde las siguientes preguntas:

¿Qué sucede al cambiar el signo del parámetro lineal $m$?

Cambia la inclinación de la gráfica: positivo, la recta es ascendente, y negativo la recta es descendente.

¿Qué sucede al incrementarse la magnitud (se aleja de cero) del parámetro lineal $m$?

La inclinación de la gráfica aumenta, cuando es cero la gráfica queda horizontal.

¿Si la gráfica pasa por el origen, cuánto vale la condición inicial?

Cero y, por tanto, no se escribe en la ecuación.