Sistemas 2x2: Suma

Obtención de sistemas equivalentes de 2x2: Criterio de la suma o diferencia

Observa el siguiente recurso GeoGebra en el que se muestra del lado izquierdo la gráfica del sistema $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$; y del lado derecho la del sistema $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$.

geogebra

¿Los sistemas tienen la misma o diferente solución? Selecciona la respuesta correcta.

    • Tienen diferente solución y, por lo tanto, no son sistemas equivalentes.
    • Tienen la misma solución y, por lo tanto, son sistemas equivalentes

    Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. El punto de intersección de las rectas $\color{Orange}{\left( {5.4,2.4} \right)}$ determina los valores $\color{Orange}{x = 5.4}$ y $\color{Orange}{y = 2.4}$, que son solución de ambos sistemas de ecuaciones.

Ahora, desplaza el deslizador en rojo para generar diferentes sistemas equivalentes a $\left\{ \matrix{\color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$. Observa que ambos sistemas contienen a la ecuación 1 y que la ecuación 3 depende del valor del deslizador. Cuando el valor del deslizador vale $\color{red}{2}$ se tiene que:

Sistema original Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 2
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1´
Ec. 3´

La Ec.3 es el resultado de sumar o restar un múltiplo de la Ec.2 a la Ec.1, tal como se indica a continuación:

Ecuación 2 $ \color{Green}{x - y = 3}$ Ec. 2
Multiplica por 2 la ecuación 2 $\color{Red}{2}\color{Green}{\left( {x - y = 3} \right)}$
Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3
$\matrix{ { + \;\;\underline {\matrix{ {\color{Blue}{2x + 3y = 18}} \hfill \cr {\color{Green}{2x - 2y = 6}} \hfill \cr } } } \hfill \cr {\;\;\;\;\color{Brown}{4x + y\;\; = 24}} \hfill \cr } $
Ec. 1
Ec. 2´
Ec. 3
Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original.
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 3

Observa que las ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3 son diferentes, por lo que también tienen una representación gráfica diferente. Sin embargo, el sistema original y el sistema equivalente al original tienen la misma solución.

A partir del ejercicio anterior, se deduce el criterio de la suma o diferencia de ecuaciones:

Criterio de la suma o diferencia

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta otro sistema equivalente al original.

Practicando

Revisa el recurso GeoGebra de Criterio de la suma o diferencia y desplaza el deslizador $\color{Red}{b}$. Observa los procedimientos del Criterio de la suma para la construcción de un sistema equivalente, para los diferentes valores del multiplicador $\color{Red}{b}$.

Después, determina un sistema equivalente al original utilizando el criterio de la suma y multiplicando a la Ec. 2 por $\color{Red}{9}$.

Sistema original
$\matrix{ { + \;\;\underline {\matrix{ {\color{Blue}{2x + 3y = 18}} \hfill \cr {\color{Green}{2x - 2y = 6}} \hfill \cr } } } \hfill \cr {\;\;\;\;\color{Brown}{4x + y\;\; = 24}} \hfill \cr } $
Ec. 1
Ec. 2

Ahora escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Completa todas tus respuestas para poder verificar.
Ecuación 2 $ \color{Green}{x - y = 3}$ Ec. 2
Multiplica por 9 la ecuación 2 $9 {\color{Green} {(x-y=3)}}$
Realiza la operación
$9x-$
$9$
$y=$
$27$
Ec. 2'
Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3
+
$2x+3y=18$
$9x-$
$9$$y=$
$27$
$11x-$
$6$$y=$
$45$
Ec. 1
Ec. 2´
Ec. 3
Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original
{
$2x+3y=18$
$11x-$
$6$$y=$
$45$
Ec. 1
Ec. 3

Los sistemas equivalentes son:

Sistema original Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 2
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{11x - 6y = 45} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 3

Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. El punto de intersección de las rectas $\color{Orange}{\left( {5.4,2.4} \right)}$ determina los valores $\color{Orange}{x = 5.4}$ y $\color{Orange}{y = 2.4}$, que son solución de ambos sistemas de ecuaciones.

Empleando el Criterio de la Suma, determina el sistema equivalente a $\left\{ \matrix{ 2x + 3y = 18 \hfill \cr x - y = 3 \hfill \cr} \right.$; multiplica la segunda ecuación por $\color{Red}{-10}$.

Ahora escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación 2 $ {\color{Green}{x - y = 3}}$ Ec. 2
Multiplica por -10 la ecuación 2 $-10 {\color{Green} {(x-y=3)}}$
Realiza las operaciones
$-10x+$
$10$
$y=$
$-30$
Ec. 2'
Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3
+
$2x+3y=18$
$-10x+$
$10$$y=$
$-30$
$-8x+$
$13$$y=$
$-12$
Ec. 1
Ec. 2´
Ec. 3
Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original
{
$2x+3y=18$
$-8x+$
$13$$y=$
$-12$
Ec. 1
Ec. 3

Los sistemas equivalentes son:

Sistema original Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 2
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{-8x + 13y = -12} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 3

Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. El punto de intersección de las rectas $\color{Orange}{\left( {5.4,2.4} \right)}$ determina los valores $\color{Orange}{x = 5.4}$ y $\color{Orange}{y = 2.4}$, que son solución de ambos sistemas de ecuaciones.

Determina el sistema equivalente a $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Green}{2x - 3y = 0} \hfill \cr} \right.$ empleando el Criterio de la Suma, para esto multiplica la segunda ecuación por $\color{Red}{-3}$, una vez realizado, escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación 2 $$\color{Green}{2x - 3y = 0}$$ Ec. 2
Multiplica por $-3$ la ecuación 2 $-3 {\color{Green} {(2x-3y=0)}}$
Simplifica
$-6$
$x+$
$9$$y=$
$0$
Ec. 2'
Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3
+
$6x-2y=14$
$-6$$x+$
$9$$y=$
$0$
$0$$x+$
$7$$y=$
$14$
Ec. 1
Ec. 2´
Ec. 3
Con las ecuaciones 1 y 3 forma el nuevo sistema equivalente. Sistema 2.
{
$6x-2y=14$
$7$$y=$
$14$
Ec. 1
Ec. 3

Los sistemas equivalentes son:

Sistema original Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Green}{2x - 3y = 0} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 2
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Brown}{\>\>\>\>\>\>\>7y = 14} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 3

Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. Los valores $\color{Orange}{x =3}$ e $\color{Orange}{y = 2}$, son solución de ambos sistemas de ecuaciones.