S. Compatible/solución única

Sistema compatible con solución única

En la solución algebraica del problema “Tarifas de celulares” se siguió el método de igualación para resolver el sistema de ecuaciones $T=2t+150$ y $M=1.60t+200$; esto implicó igualar las coordenadas de los puntos A y B para encontrar el punto de intersección de las dos rectas, dando lugar a una ecuación con una incógnita que se resolvió para determinar el valor de una incógnita y después el valor de la otra:

celulares

$(t,2t+150) = (t,1.60t+200 )$, por lo que las coordenadas respectivas deben ser iguales, esto es, $t=t$ y $2t+150 = 1.60t+200$ Ec. 3.

A continuación se resolverá un sistema de ecuaciones con el método de igualación, de manera esquematizada en cuatro pasos, para facilitar la comprensión de dicho método.

$3x+2y=8$

$2x-y=3$

Ec. 1

Ec. 2

La solución del sistema está dada por la solución común de las dos ecuaciones, es decir, las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de cada una de las ecuaciones. Para determinar el punto de intersección seguimos los siguientes pasos.

Debes llenar todos los espacios para recibir retroalimentación.

Se despeja la misma incógnita de cada una de las dos ecuaciones. Se escoge despejar la incógnita $y$.

Completa lo correspondiente en los espacios en blanco y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

De la Ec. 1 $3x+2y=8$

$3x+2y-3x=8-$
$3x$
(se resta 3x a los dos lados de la ecuación)
$2y=$
$8$ $-$
$3x$
(se simplifica)
$\frac{2y}{2}=$
$8-3x$
$\frac{8-3x}{2}$
(se divide entre 2 los dos lados de la ecuación)
Ec.1'
$y$$=\frac{8-3x}{2}$
(se simplifica)

Por lo que los puntos que cumplen con la solución de la ecuación Ec. 1 son $A=(x,y)=\left ( x,\frac{8-3x}{2} \right )$

De la Ec. 2 $2x-y=3$

$2x-y-$
$2x$$=3-$
$2x$
(se resta 2x a los dos lados de la ecuación)
$-y=3-$
$2x$
(se simplifica)
$-1(-y)=-$
$1$$(3-2x)$
(se multiplica por -1 a los dos lados de la ecuación)
Ec.2'$y=-3+$
$2x$
(se simplifica)
Por lo que los puntos que cumplen con la solución de la ecuación Ec. 2 son $B=(x,y)=(x,$
$)$$-3+2x$

Se igualan las soluciones de cada una de las ecuaciones para obtener la solución común (punto de intersección de sus gráficas) y se resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita, como se muestra a continuación.

La solución del sistema son las coordenadas del punto de intersección cuando $A=B$, es decir, $\left ( x ,\frac{8-3x}{2} \right )=(x ,-3+2x)$, por lo que se igualan las coordenadas respectivas:

$x=x$

$\frac{8-3x}{2} =-3+2x$

Ec. 3

Se resuelve la ecuación Ec. 3:

$\frac{8-3x}{2} =-3+2x$

Completa lo correspondiente en los espacios en blanco y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

$\frac{8-3x}{2} =-3+2x$ Ec. 3

$2\left ( \frac{8-3x}{2} \right )=$
$2$$(-3+2x)$
(se multiplica por 2 a los dos lados de la ecuación)
$8-3x=-6+4x$ (se simplifica)
$8-3x-$
$8$ $=-6+4x-$
$8$
(se resta 8 a los dos lados de la ecuación)
$-3x$
$=-14+4x$
(se simplifica)
$-3x-$
$4x$ $=-14+4x-$
$4x$
(se resta 4x a los dos lados de la ecuación)
$-7x=-14$ (se simplifica)
$-7x$
$\frac{-7x}{-7}$$=$
$-14$
$\frac{-14}{-7}$
(se divide entre -7 a los dos lados de la ecuación)
$x=$
$2$
(se simplifica)

Se sustituye el valor encontrado $x=2$ en cualquiera de las ecuaciones que tiene las dos incógnitas, para encontrar el valor de la otra incógnita. Se escoge sustituir en Ec. 1.

Llena los espacios y después da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Sustituyendo en $x=2$ en Ec. 1

$x+2y=8 $

$3($
$x$$)+2y=8$
$6+2y=$
$8$
$6+2y-$
$6$ $=8-6$
$2y=$
$2$
$y=\frac{2}{2}$
$y=$
$1$

Comprobación. Se sustituyen la solución encontrada $x=2$, $y=1$ en cada una de las dos ecuaciones originales para verificar que se cumplan.

Llena los espacios y después da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

$3x+2y=8$ Ec. 1

$2x-y=3$ Ec. 2

$3($
$2$$)+2($
$1$$)=8$
$2($
$2$$)-$
$1$=3
$6+2=8$ $4-1=3$
$8$ $=8$
$3$ $=3$

Como en cada una de las dos ecuaciones del sistema se cumple con la solución encontrada x=2, y=1 , podemos decir que la solución es correcta y es la única que tiene el sistema.

Nota: Es necesario verificar la solución en cada una de las dos ecuaciones originales, porque puede suceder que la solución encontrada sólo se cumpla en una ecuación y no en la otra.

Este sistema de ecuaciones lineales es un Sistema compatible con solución única.

Da clic en Sistema Igualación 1 para visualizar la solución gráfica del sistema de ecuaciones resuelto de manera algebraica por el método de igualación. Completa los espacios en blanco, contesta las preguntas y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

geogebra
¿Cuál es la solución gráfica del sistema? $\left \{ \right.$ $\begin{matrix}3x+2y=8\\2x-y=1\end{matrix}$
$x=$
$2$ $y=$
$1$
¿Tiene el sistema otras soluciones? ¿sí o no?
No
Alumno: