Propiedades de la igualdad que producen ecuaciones equivalentes
Al aplicar las propiedades de la igualdad se producen ecuaciones equivalentes, y tienen por objetivo determinar con cuáles valores de la variable o incógnita se cumple la igualdad. Estos valores se les conoce como soluciones o raíces de la ecuación.
La igualdad en Matemáticas establece una comparación de valores representada por el signo igual, que es el que separa al primer miembro del segundo. Existen igualdades numéricas o algebraicas, por ejemplo:
Dentro de la igualdad se dan cinco propiedades, las cuales son:
Propiedad de la igualdad de la suma  |
1. Si a=b entonces a+x=b+x |
|---|---|
| Propiedad de la igualdad de la resta |
2. Si a=b entonces a−x=b−x 3. Si a=b entonces x−a=x−b |
| Propiedad de la igualdad de la multiplicación |
4. Si a=b entonces a(x)=b(x) |
| Propiedad de la igualdad de la división |
5. Si a=b entonces ax=bx |
Como ya habrás observado, es más fácil resolver ecuaciones que son más simples, para obtenerlas es necesario hacer transformaciones, por lo que se debe proceder de la siguiente forma:
- Cada transformación debe producir una ecuación más simple, equivalente a las anteriores; es decir, deben tener la misma solución.
- Transformar la ecuación hasta obtener una igualdad del tipo x= solución.
- Para realizar esas transformaciones se deben usar las reglas de transposición, las cuales cumplen con las propiedades de la igualdad. Las reglas de transposición de términos permiten mover términos de un miembro a otro según convenga, para resolver las ecuaciones. El principio básico de la transposición de términos es mantener la igualdad, es decir, cualquier operación que se realice en una ecuación (suma, resta, multiplicación o división) se debe hacer en ambos miembros de la igualdad y ésta no se verá afectada.
Revisa los siguientes casos en los que se aplican las transformaciones, para ello da clic en cada uno de los incisos y revisa los problemas que se presentan
Problema 1
Al sumarle 10 unidades a un número, el resultado es -1. Encuentra cuál es el número.
| Datos | Incógnitas | Relación algebraica |
|---|---|---|
| –1 es el resultado de sumar un número y 10 | Sea x el número que se busca | x+10=-1 |
Para resolver el problema llevaremos a cabo algunas transformaciones hasta dejar la variable de un lado de la igualdad; utilizarás la regla de transposición: restar en ambos lados de la igualdad.
| Ecuación que plantea el problema: | x+10=-1 |
|---|---|
| Resta 10 en ambos lados: | x + 10 - {\color{Blue} {10}} = -1 - {\color{Blue} {10}} |
| Simplifica | x=-11 |
Solución: El número al que hace referencia el problema es –11. Debido a que, si le sumas 10, el resultado es –1.
Otra manera de verificar que se cumple la igualdad consiste en sustituir el valor encontrado -11 en la incógnita x de la ecuación que plantea el problema:
x+10=-1
-11+10=-1
-1=-1
Problema 2
Mi edad hace dos años era 43, encuentra mi edad actual.
| Datos | Incógnitas | Relación algebraica |
|---|---|---|
| 43 era mi edad hace dos años. | Sea y mi edad actual | y-2=43 |
Para resolverlo utilizarás ahora la regla de transposición: sumar en ambos lados de la igualdad, hasta dejar la variable de un lado de la ecuación:
| Ecuación que plantea el problema: | y-2=43 |
|---|---|
| Suma 2 en ambos lados: | y-2+2=43+2 |
| Simplifica | y=45 |
Solución: Actualmente tengo 45 años, ya que hace dos años tenía 43 años. También lo puedes verificar sustituyendo la incógnita y por el valor 45 en la ecuación que plantea el problema; observa que se cumple la igualdad:
y-2=43
45-2=43
43=43
Problema 1
Al dividir un dinero que tenía guardado entre los doce que integramos la familia, nos tocó a cada uno 5000 ¿cuánto es lo que tenía guardado?
| Datos | Incógnitas | Relación algebraica |
|---|---|---|
| 5000 es lo que nos tocó de dinero a cada uno de los 12 que integramos la familia. | Sea z el dinero que tenía. | \frac{z}{12}=5000 |
Utiliza la regla de transposición: multiplicar en ambos lados de la igualdad, hasta dejar la variable de un lado de la ecuación.
| Ecuación que plantea el problema: | \frac{z}{12}=5000 |
|---|---|
| Multiplica por 12 en ambos lados: | {\color{blue} {12}} \left (\frac{z}{12} \right )= {\color{blue} {12}} (5000) |
| Simplifica | z=60000 |
Solución: Tenía guardado 60,000. Porque al dividir esta cantidad entre los doce que integramos la familia, a cada uno nos tocó 5,000.
Verifícalo, sustituyendo la incógnita z por el valor 60,000 en la ecuación que plantea el problema y observa que se cumple la igualdad:
\frac{z}{12}=5000
\frac{60,000}{12} =5,000
5000=5000
Problema 2
Al multiplicar un número por cinco resulta 42.5 ¿cuál es el número?
| Datos | Incógnitas | Relación algebraica |
|---|---|---|
| 42.5 es el resultado de multiplicar un número por 5. | Sea x el número buscado. | 5x = 42.5 |
Utiliza la regla de transposición: dividir en ambos lados de la igualdad, hasta dejar la variable de un lado de la ecuación.
| Ecuación que plantea el problema: | 5x = 42.5 |
|---|---|
| Divide entre 5 en ambos lados: | \frac{5x}{\color{blue}5} = \frac{42.5}{\color{blue}5} |
| Simplifica: | x=8.5 |
Solución: El número que se busca es 8.5 ya que si lo multiplicas por cinco el resultado es 42.5.
Verifica que también se cumple la igualdad al sustituir en la ecuación, la incógnita x por el valor 8.5.
5x=42.5
5(8.5)=42.5
42.5 = 42.5