Propiedades de la igualdad...

Propiedades de la igualdad que producen ecuaciones equivalentes

Al aplicar las propiedades de la igualdad se producen ecuaciones equivalentes, y tienen por objetivo determinar con cuáles valores de la variable o incógnita se cumple la igualdad. Estos valores se les conoce como soluciones o raíces de la ecuación.

La igualdad en Matemáticas establece una comparación de valores representada por el signo igual, que es el que separa al primer miembro del segundo. Existen igualdades numéricas o algebraicas, por ejemplo:

miembros

Dentro de la igualdad se dan cinco propiedades, las cuales son:

Propiedad de la igualdad de la suma     flecha igualdad 1. Si $a=b$ entonces $a+x=b+x$
Propiedad de la igualdad de la resta     flecha igualdad

2. Si $a=b$ entonces $a-x=b-x$

3. Si $a=b$ entonces $x-a=x-b$

Propiedad de la igualdad de la multiplicación     flecha igualdad 4. Si $a=b$ entonces $a(x) = b(x)$
Propiedad de la igualdad de la división     flecha igualdad 5. Si $a=b$ entonces $ \tfrac {a}{x} = \tfrac{b}{x} $

Como ya habrás observado, es más fácil resolver ecuaciones que son más simples, para obtenerlas es necesario hacer transformaciones, por lo que se debe proceder de la siguiente forma:

  1. Cada transformación debe producir una ecuación más simple, equivalente a las anteriores; es decir, deben tener la misma solución.
  2. Transformar la ecuación hasta obtener una igualdad del tipo $x= solución$.
  3. Para realizar esas transformaciones se deben usar las reglas de transposición, las cuales cumplen con las propiedades de la igualdad. Las reglas de transposición de términos permiten mover términos de un miembro a otro según convenga, para resolver las ecuaciones. El principio básico de la transposición de términos es mantener la igualdad, es decir, cualquier operación que se realice en una ecuación (suma, resta, multiplicación o división) se debe hacer en ambos miembros de la igualdad y ésta no se verá afectada.

Revisa los siguientes casos en los que se aplican las transformaciones, para ello da clic en cada uno de los incisos y revisa los problemas que se presentan

Problema 1

Al sumarle 10 unidades a un número, el resultado es $-1$. Encuentra cuál es el número.

Datos Incógnitas Relación algebraica
$–1$ es el resultado de sumar un número y $10$ Sea $x$ el número que se busca $x+10=-1$

Para resolver el problema llevaremos a cabo algunas transformaciones hasta dejar la variable de un lado de la igualdad; utilizarás la regla de transposición: restar en ambos lados de la igualdad.

Ecuación que plantea el problema: $x+10=-1 $
Resta 10 en ambos lados: $ x + 10 - {\color{Blue} {10}} = -1 - {\color{Blue} {10}} $
Simplifica $x=-11$

Solución: El número al que hace referencia el problema es $–11$. Debido a que, si le sumas 10, el resultado es $–1$.

Otra manera de verificar que se cumple la igualdad consiste en sustituir el valor encontrado $-11$ en la incógnita $x$ de la ecuación que plantea el problema:

$ x+10=-1 $

$ -11+10=-1 $

$ -1=-1 $

Problema 2

Mi edad hace dos años era 43, encuentra mi edad actual.

Datos Incógnitas Relación algebraica
$43$ era mi edad hace dos años. Sea $y$ mi edad actual $y-2=43$

Para resolverlo utilizarás ahora la regla de transposición: sumar en ambos lados de la igualdad, hasta dejar la variable de un lado de la ecuación:

Ecuación que plantea el problema: $y-2=43$
Suma 2 en ambos lados: $y-2+2=43+2$
Simplifica $y=45$

Solución: Actualmente tengo $45$ años, ya que hace dos años tenía $43$ años. También lo puedes verificar sustituyendo la incógnita $y$ por el valor $45$ en la ecuación que plantea el problema; observa que se cumple la igualdad:

$y-2=43$

$45-2=43$

$43=43$

Problema 1

Al dividir un dinero que tenía guardado entre los doce que integramos la familia, nos tocó a cada uno 5000 ¿cuánto es lo que tenía guardado?

Datos Incógnitas Relación algebraica
5000 es lo que nos tocó de dinero a cada uno de los 12 que integramos la familia. Sea $z$ el dinero que tenía. $\frac{z}{12}=5000$

Utiliza la regla de transposición: multiplicar en ambos lados de la igualdad, hasta dejar la variable de un lado de la ecuación.

Ecuación que plantea el problema: $\frac{z}{12}=5000$
Multiplica por $12$ en ambos lados: ${\color{blue} {12}} \left (\frac{z}{12} \right )= {\color{blue} {12}} (5000)$
Simplifica $z=60000$

Solución: Tenía guardado 60,000. Porque al dividir esta cantidad entre los doce que integramos la familia, a cada uno nos tocó 5,000.

Verifícalo, sustituyendo la incógnita $z$ por el valor 60,000 en la ecuación que plantea el problema y observa que se cumple la igualdad:

$\frac{z}{12}=5000$

$\frac{60,000}{12} =5,000$

$ 5000=5000 $

Problema 2

Al multiplicar un número por cinco resulta $42.5$ ¿cuál es el número?

Datos Incógnitas Relación algebraica
$42.5$ es el resultado de multiplicar un número por $5$. Sea $x$ el número buscado. $ 5x = 42.5 $

Utiliza la regla de transposición: dividir en ambos lados de la igualdad, hasta dejar la variable de un lado de la ecuación.

Ecuación que plantea el problema: $5x = 42.5 $
Divide entre $5$ en ambos lados: $\frac{5x}{\color{blue}5} = \frac{42.5}{\color{blue}5}$
Simplifica: $x=8.5$

Solución: El número que se busca es $8.5$ ya que si lo multiplicas por cinco el resultado es $42.5$.

Verifica que también se cumple la igualdad al sustituir en la ecuación, la incógnita $x$ por el valor $8.5$.

$ 5x=42.5 $

$ 5(8.5)=42.5 $

$ 42.5 = 42.5 $

Para verificar tus respuestas debes completar el ejercicio.

Practicando

Problema 1

Encuentra el valor de la variable para el cual se cumple la igualdad en la ecuación. Para ello completa los espacios que se te solicitan. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$\frac{5}{3}x -20 = -5$

Completa los espacios que se te solicitan y al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación: $ \frac{5}{3}x -20 = -5 $
Sumar 20 en ambos lados:
$\frac{5}{3}x -20$
$+20$ $= -5$
$+20$
Simplificar: $ \frac{5}{3}x = 15 $
Multiplicar por
$3$ en ambos lados:
$3$ $ \left (\frac{5}{3}x \right ) = $
$(15)$$3(15)$
Simplificar: $ 5x=45 $
Dividir entre
$5$ en ambos lados:
$5x$
$\frac{5x}{5}$$=$
$45$
$\frac{45}{5}$
Simplificar: $ x=9 $

Ahora escribe en la solución las respuestas correspondientes:

Solución: El valor de la variable para el cual se cumple la igualdad en la ecuación es
9 al sustituir este valor en la ecuación, se cumple que es igual a
-5.

Puedes verificar el resultado sustituyendo el valor encontrado en la ecuación que plantea el problema

$ \tfrac {5}{3} x - 20 = -5 $

$ \tfrac {5}{3} ( \color{green}{9} )- 20 = -5 $

$ \tfrac {\color{green}{45}}{3}- 20 = -5 $

$ \tfrac {\color{green}{45}}{3}- 20 = -5 $

$-5=-5$

Problema 2

En este momento ya puedes resolver el problema que se presentó en la introducción de este material, el problema del cálculo de las edades que planteó el profesor de Matemáticas:

Mariana tiene el triple de la edad de Yolanda. Dentro de cinco años sus edades sumarán 26 años. ¿Qué edad tiene cada niña?

Datos Incógnitas Relación algebraica
Dentro de cinco años la suma de las edades de Mariana y Yolanda será de $26$ años.

Sea $x$ la edad actual de Yolanda.

Sea $3x$ la edad actual de Mariana.

Sea
$x+5$ edad de Yolanda dentro de 5 años.

Sea
$3x+5$ edad de Mariana dentro de 5 años

$ (x+5) + (3x+5) =$
26

Ecuación:

Se han colocado paréntesis, aunque no son necesarios, para separar la edad de cada niña.

$ (x+5)+(3x+5)=26$

Es lo mismo que:

$ x+5+3x+5=26 $

Simplifica agrupando términos semejantes: $ 4x+10=26 $
Restar 10 en ambos lados:
$4x+10-$
$10$ $= 26 -$
$10$
Simplificas: $ 4x=16$
Dividir entre
4 en ambos lados:
$4x$
$\frac{4x}{4}$$=$
$16$
$\frac{16}{4}$
Simplificas: $ x= $
4

Ahora escribe en la solución las respuestas correspondientes:

Solución: Yolanda tiene
4 años y Mariana
12 años. Como puedes observar el triple de la edad de Yolanda es doce, que es la edad que tiene actualmente Mariana; además dentro de cinco años, Yolanda tendrá nueve años y Mariana diecisiete; al sumar estas edades el resultado es 26 años, como indica el enunciado del problema.

Puedes verificar el resultado sustituyendo el valor encontrado en la ecuación que plantea el problema:

$ ({\color{green}{4}}+5)+(3 \times {\color{green}{4}}+5)=26 $

$ {\color{green}{9}}+(\color{green}{12}+5)=26 $

$ {\color{green}{9}}+\color{green}{17}=26 $

$ 26=26 $

Practicando

Problema 1

Si sumamos la edad de Pedro y el doble de su edad dentro de cinco años, obtenemos 82. ¿Qué edad tiene actualmente Pedro?

Completa los espacios que se te solicitan y al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Datos Incógnitas Relación algebraica
82 es la suma de la edad de Pedro y el doble de su edad dentro de $5$ años.

Sea $P$ la edad actual de Pedro.

Sea
$P+5$ la edad de Pedro dentro de $5$ años.

Sea $2($
$P+5$$)$ el doble de la edad de Pedro dentro de $5$ años.

$P+2($
$P+5$
$)=82$

En este problema es necesario aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma:

Propiedad de la multiplicación sobre la suma     flecha igualdad $a(b+c)=ab+ac$

$ 2(P+5)= $

$2P+2(5)= $

$2P+10$

Ecuación que plantea el problema: $P+2(P+5)=82$
Propiedad distributiva: $P+2P+10=82$
Restar
10 en ambos lados:
$P+2P+10-$
$10$ $=82-$
$10$
Simplificar: $ 3P=72 $
Dividir entre
3 en ambos lados:
$3P$
$\frac{3P}{3}$$=$
$72$
$\frac{72}{3}$
Simplificar: $P=$
$24$

Ahora escribe en la solución las respuestas correspondientes:

Solución: Actualmente Pedro tiene
24 años. La edad de Pedro dentro de cinco años será 29 años y el doble de esta edad nos da 58, al sumar la edad actual de Pedro nos da 82 como dice el enunciado del problema.

También puedes verificar el resultado si sustituyes el valor encontrado en la ecuación que plantea el problema:

$ \color{green}{24} +2({\color{green}{24}} +5)= 82 $

$ \color{green}{24} +2({\color{green}{29}})= 82 $

$ \color{green}{24} +58 = 82 $

$82=82$