Infinidad de soluciones

Sistema compatible con infinidad de soluciones

Ahora se resolverá un sistema compatible con infinidad de soluciones por el Método de Suma o Resta, teniendo como ejemplo las siguientes ecuaciones:

$3x+4y=2$ Ec. 1

$6x+8y=4$ Ec. 2


Igual que en los sistemas anteriores, esta solución está dada por la solución común de las dos ecuaciones, es decir, las coordenadas del punto de intersección de las gráficas de cada una de las ecuaciones como se revisará más adelante.

Practicando

Para determinar la solución del sistema por el Método de Suma o Resta deberás seguir el esquema de cuatro pasos que se ha venido trabjando, da clic en cada pestaña para revisarlos y completa los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Multiplicación de cada ecuación

Se multiplica cada ecuación por números que igualen los coeficientes de una misma incógnita en las dos ecuaciones para eliminar una de las incógnitas.

Se deben obtener ecuaciones equivalentes a las originales que, al sumarlas o restarlas, permitan eliminar la incógnita seleccionada para conseguir una ecuación con una sola incógnita.

Una vez más, para igualar los coeficientes de $y$ como se hizo en el sistema anterior, se deberá multiplicar la Ec. 1 por el coeficiente $8$ de $y$ de la Ec.2 y multiplicar la Ec.2 por el coeficiente $4$ de $y$ de la Ec.1 como se hace a continuación:

ecuaciones originales
Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.

De Ec.1 $8$$(3x+4y=2)$ se obtiene $24$$x+32y=16$ Ec.1’

De Ec.2 $4$$(6x+8y=4)$ se obtiene $24x+$$32$$y=16$ Ec.2’

Sumar o restar las ecuaciones

Se suman o se restan las ecuaciones Ec.1' y Ec.2' para eliminar una de las incógnitas. En este caso se restan algebraicamente para eliminar la incógnita $y$, con lo que se obtendría una ecuación con una sola incógnita $x$ Ec.3 y se resuelve:

ecuación

$0=0$ Ec.3

Pero ¿qué sucede? ¡Se eliminó también la otra incógnita $x$!

Esto es, se obtuvo la Ec.3 que no tiene incógnitas, pero se cumple la igualdad $0=0$. Esto significa que para cualquier valor que tenga la incógnita $x$ en la ecuación 1 o en la ecuación 2, se cumplirá siempre la ecuación Ec.3, por lo que el sistema tiene infinidad de soluciones como se verá a continuación.

Sustituir valores

Se sustituye el valor encontrado, en este caso el de $x$ que se quiera, en cualquiera de las ecuacionesen que tiene a las dos incógnitas para encontrar el valor de la otra incógnita. En este caso se escoge sustituir en la Ec. 1:

Por ejemplo:

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.
Sustituyendo $x=6$ en Ec. 1 Sustituyendo $x=-1$ en Ec. 1

$3x+4y=2$ Ec. 1

$3(6)+4y=2$

$18+4y=2$

$18+4y-18=2-$$18$

$4y=-16$

$4y$
$=$
$-16$
$\frac{4y}{4}=\frac{-16}{4}$

$y=-4$


Por tanto, una solución es $x=6$, $y=-4$

$3x+4y=2$ Ec. 1

$3(-1)+4y=2$

$-3$$+4y=2$

$-3+4y+$$3$$=2+$$3$

$4y=5$

$4y$
$=$
$5$
$4$
$\frac{4y}{4}=\frac{5}{4}$

$y=\frac{5}{4}$


Por tanto, otra solución es $x=-1$, $y=\frac{5}{4}$

De esta manera se pueden generar infinidad de soluciones.

Si se escoge sustituir la Ec. sería de la siguiente forma:

Sustituyendo $x=6$ en Ec. 2 Sustituyendo $x-1$ en Ec. 2

$6x+8y=4$ Ec. 2

$6(6)+8y=4$

$36+8y=4$

$36+8y-36=4-36$

$8y=-32$

$\frac{8y}{8}=\frac{-32}{8}$

$y=-4$

Observa que se obtiene el mismo valor que en Ec. 1

$6x+8y=4$ Ec. 2

$6(-1)+8y=4$

$-6+8y=4$

$-6+8y+6=4+6$

$8y=10$

$\frac{8y}{8}=\frac{10}{8}$

$y=\frac{5}{4}$

Observa que también se obtiene el mismo valor que en Ec. 1

Comprobación

Se sustituye la solución encontrada en cada una de las dos ecuaciones originales para verificar que se cumpla la igualdad.

Para poder verificar debes escribir en el espacio correspondiente.
Para $x=6$, $y=-4$ Para $x=-1$, $y=\frac{5}{4}$

$3x+4y=2$ Ec. 1

$3(6)+4(-4)=2$

$18-$$16$$=2$

$2$$=2$




$6x+8y=4$ Ec. 2

$6(6)+8(-4)=4$

$36$$-32=4$

$4$$=4$



Como las dos ecuaciones se cumplen con $x=6$, $y=-4$, la solución es correcta.

$3x+4y=2$ Ec. 1

$3(-$$1$$)+4\frac{5}{4}=2$

$-3$$+5=2$

$2$$=2$




$6x+8y=4$ Ec. 2

$6(-1)+8($
$)=4$ $6(-1)+8(\frac{5}{4})=4$

$-6+10=4$

$4$$=4$


Como las dos ecuaciones se cumplen con $x=-1$, $y=\frac{5}{4}$, la solución es correcta.

De la misma manera se puede comprobar que cualquier solución que cumpla con la Ec. 1 también cumple con la Ec. 2 y viceversa, como se ve a continuación:

De las ecuaciones originales:

$3x+4y=2$ Ec. 1

$6x+8y=4$ Ec. 2


Observa que la ecuación Ec. 2 es exactamente el doble de la ecuación Ec. 1, por lo que al multiplicar por $2$ la ecuación Ec. 1: $2(3x+4y=2)$, se obtiene la ecuación equivalente Ec. 2: $6x+8y=4$

Por lo que se concluye que todas las soluciones de la ecuación Ec. 1 también son soluciones de la ecuación Ec. 2 y viceversa.

Por lo anterior, se puede afirmar que este sistema de ecuaciones lineales es un Sistema compatible con infinidad de soluciones.

geogebra

Ahora revisa el siguiente recurso GeoGebra sobre el Sistema compatible con infinidad de soluciones en el que se podrás observar las diferentes coordenadas de los puntos A y B que cumplen con cada una de las ecuaciones del sistema,

así como los puntos de intersección de las gráficas para dar la solución al sistema de ecuaciones.

Este sistema es compatible con infinidad de soluciones.


Observa también que en el sistema

ecuaciones originales

la ecuación 2 equivale a la ecuación 1 multiplicada por 2, por lo que todas las soluciones de la ecuación 1 también son soluciones de la ecuación 2, y viceversa, se tienen por tanto infinidad de soluciones como ya se indicó.

Alumno: