Errores más comunes en la comprensión y uso de la función lineal
Pasaremos ahora a describir algunas de las dificultades de este tema, tanto para su aprendizaje como para su enseñanza. Las descripciones que hacemos aquí tienen como base nuestra experiencia e investigaciones del desempeño de los alumnos del CCH en el aula a la hora de abordar la unidad de variación directamente proporcional y funciones lineales.
Dificultades en la comprensión de las distintas formas de representación de una función
Sabemos por experiencia que los estudiantes tienen muchas dificultades en la comprensión y manejo de las formas con las que se representan relaciones entre variables, mucho de esto se debe a las maneras mecánicas con las que han aprendido a manipular este concepto sin que haya una comprensión significativa. ¿Cómo se construye el concepto de función de tal manera que los alumnos puedan usar cualquier tipo de representación de dicha función?; es decir, que hagan la gráfica, tabla de valores o modelo algebraico y puedan ir y venir de una representación a otra interpretando correctamente cada una de ellas dentro del contexto en la situación de la cual surgieron.
Los alumnos también tienen dificultades para acceder al conocimiento matemático, usarlo y ser capaz de comunicarlo. Los problemas de comunicación matemática y de aplicabilidad de ésta tienen que ver con la presentación de dichos conocimientos, a través de situaciones cercanas a la experiencia de vida de quienes aprenden. Es precisamente en la escuela el lugar en donde se deben llevar a cabo las acciones de aprendizaje para que los estudiantes construyan, a partir de sus conocimientos y entorno, el concepto de función lineal. Desafortunadamente, no es lo que generalmente vemos en las aulas de nuestro Colegio.
Las dificultades epistemológicas para la construcción del concepto de función lineal tienen que ver con el dominio de otros conceptos básicos como el de proporcionalidad. El concepto mismo de proporcionalidad tiene que ver con el de medida y semejanza, con la comparación relativa de magnitudes de conjuntos a través del uso del concepto de razón y del planteamiento de las equivalencias entre razones ligadas por el signo de la igualdad con sus propiedades. Leer y hacer gráficas de funciones lineales requiere del dominio de los conceptos anteriores, además de una nueva habilidad de lectura donde los estudiantes deben comprender e interpretar la dinámica de un proceso de variación en una imagen estática como lo es la gráfica de la función.
En cuanto a la representación gráfica, sabemos que no es lo mismo “leer” (deletrear la gráfica, es decir, verbalizar los elementos de la gráfica sin sentido) que una lectura con interpretación de la misma, es decir, una lectura incluye el sentido y significado o lo que llamamos simplemente: interpretación de la gráfica, es decir, las coordenadas leídas son verbalizadas como los valores de las variables asociadas representadas en un punto de la función sobre el plano.
Cuando tratamos de obtener información de una gráfica, debemos identificar las variables representadas en cada uno de los ejes, el significado del origen, la unidad y la graduación de los ejes, para pasar después a la identificación de los puntos de la gráfica (par ordenado de valores); es decir, dado un valor de una variable identificar el valor correspondiente de la otra o bien reconocer si un punto dado pertenece o no a la gráfica, todas estas actividades corresponden a la lectura de gráficas; desde luego, su conocimiento es necesario para interpretarla pero no suficiente, de hecho muchos alumnos pueden “leer” una gráfica, sin errores de importancia, y no obstante la interpretación que hace de la misma puede ser totalmente equivocada. Por otra parte, interpretar la gráfica es una actividad más compleja ligada a cada situación, consiste en la capacidad para describir la función representada de forma global, atendiendo a las características generales de la gráfica, es decir, a las variaciones que representa.
Errores más frecuentes que detectamos en las gráficas en el plano cartesiano hechas por los estudiantes:
- Errores en la graduación de los ejes. En general, consisten en hacer cambios de unidad e inversión de números positivos y negativos (preferentemente en el eje horizontal).
- Inversión en el orden de las coordenadas. Hay alumnos cuyo error es consistente en creer que la primera coordenada se representa en el eje vertical y aquellos otros que varían arbitrariamente el criterio.
- Errores en la lectura y representación de puntos de coordenadas racionales. Mientras los puntos de coordenadas enteras ofrecen poca dificultad para su ubicación en el plano, las coordenadas fraccionarias y decimales presentan numerosos problemas y se agravan aún más cuando las coordenadas son fracciones
- Concepción discreta de los puntos de una línea recta continua o un segmento. Mientras la mayoría de las variables de las situaciones funcionales consideradas son continuas, los alumnos tienen todavía una concepción discreta de los puntos de una recta. También sucede al revés, trazan una línea continua sin observar que sus variables son discretas.
- Lectura de la gráfica como si fuera un dibujo. El error consiste en interpretar la gráfica como un dibujo alterando el significado de las variables —inventan historias de lo que ven representado en la gráfica—.
- Entre otros aspectos, hay alumnos que tienden a dar un punto como respuesta a preguntas referidas a intervalos y a confundir «el mayor (o menor) incremento» por «el mayor o menor valor», es decir, confunden la magnitud y el sentido del cambio de un punto a otro con el valor de la variables en un punto, lo que da una idea sobre la existencia de importantes obstáculos para pasar de una interpretación «punto a punto» a una interpretación global de la gráfica.
- Dificultades para manejar el signo a la hora de medir el cambio mediante la diferencia de dos cantidades. Es frecuente que los alumnos traten de poner con signo positivo los cambios entre las variables (siempre quieren restar el valor menor del mayor, para ellos -7 es mayor que 3) y equivocarse en el cálculo de la pendiente sin cuestionarse que el signo de ésta les está indicando el sentido de la relación entre las variables.
- Dar significado a la lectura de coordenadas de un punto de la función lineal. Para ellos una coordenada de un punto en el plano cartesiano es un valor escalar. Por ejemplo, confunden el punto (0, b) con el valor b de la función en la expresión y = mx +b , esto es, el valor b para ellos es un número y no la coordenada del punto, no lo relacionan con su valor asociado y, como la segunda coordenada de la pareja (0, b)
- Dificultad para identificar el coeficiente de la variable independiente como la razón de cambio y constante de proporcionalidad, en el modelo y = mx +b
- Dificultad para calcular la razón de cambio a partir de la gráfica de una función lineal.
- Dificultad para construir el modelo algebraico a partir de la gráfica.
