1) Si tenemos sistemas con las mismas ecuaciones pero en orden diferente, los sistemas son equivalentes. En otras palabras, dado un sistema de ecuaciones lineales, para obtener uno equivalente, se intercambia el orden  de las ecuaciones del sistema.

I) Dado el siguiente sistema, identifica cuál no es equivalente.

2) Otra forma de obtener sistemas equivalentes es cambiar al menos una de las ecuaciones por otra ecuación que sea equivalente. Por ejemplo, en el sistema a) se van cambiar las ecuaciones 1 y 2 por otras que sean equivalentes.

• 3(ec1) →ec1: multiplicar por tres a cada término de la ecuación uno. La ecuación equivalente que resulte se acomoda en el lugar de la ecuación 1.
  
•   : calcular un medio de cada término de la ecuación 2. La ecuación equivalente que se obtiene se escribe en lugar de la ecuación 2.

Para formar el sistema b) equivalente al sistema a), se cambian las ecuaciones 1 y 2 del sistema a) por sus ecuaciones equivalentes. El nuevo sistema equivalente b) queda de la siguiente manera:

Pon en práctica escribir y leer los cambios que se hacen a las ecuaciones de un sistema para formar otro que sea equivalente. Observa las ecuaciones del sistema  f)  y las del sistema equivalente  g), las tres ecuaciones del sistema  f)  han sido modificadas para obtener ecuaciones equivalentes con las que se formó el sistema  g).

I) ¿Cuáles son los cambios que se hicieron a cada ecuación del sistema f) para formar el sistema equivalente g)?

Sistema equivalente

3) La tercera forma de obtener un sistema equivalente de ecuaciones lineales se tiene al sustituir una de las ecuaciones del sistema por otra, que resulte de la combinación lineal de un par de ecuaciones del sistema.

• Una combinación lineal de dos ecuaciones es la ecuación que se obtiene de la suma de las ecuaciones o  de sus ecuaciones equivalentes.
  

k*(ec1) + c*(ec2), con k y c ≠ 0: La ecuación que resulta de multiplicar por un número k, diferente de cero, a la ecuación uno, más la ecuación que se obtiene al multiplicar la ecuación dos por un número también diferente de cero, es la combinación lineal de las ecuaciones 1 y 2.

Por ejemplo: vamos a formar un sistema equivalente al sistema a) con la siguiente combinación lineal: ec1+ (‑2)*ec2 → ec2 (al sumar la ecuación 1 con el doble negativo de la ecuación 2, la ecuación que resulta de la combinación lineal se acomoda en el lugar de la ecuación 2).

                                                                      a)
Obtenemos entonces:

                                                                     b)

Observa que en el sistema equivalente b) la segunda ecuación ya no cuenta con el término de x. Se ha generado una ecuación con dos incógnitas: "y", "z".

I) Para formar un nuevo sistema equivalente a los anteriores, a) y b), ¿qué par de ecuaciones se pueden combinar para obtener otra ecuación  que no contenga al término "x"?

Sistema triangular

Una forma para resolver un sistema de ecuaciones lineales es obtener un sistema equivalente triangular, el cual tendría que estar escrito como este ejemplo:

Observaciones importantes:

• Entre la llave y las ecuaciones se puede trazar un triángulo., ya que, conforme se desciende en los reglones  van dejando de aparecer los términos de las primeras literales.
• Aunque el sistema es de 4 ecuaciones con 4 incógnitas (4x4), tú y cualquiera puede encontrar la solución si sabe resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
• Para encontrar los valores solución del sistema, se usa la sustitución regresiva, que consiste en tomar en cuenta el valor de la última incógnita, que obtenemos de la última ecuación e ir sustituyendo y resolviendo en la inmediata anterior (en este caso la 3) y así sucesivamente.
• Es mucho más fácil, la sustitución cuando los coeficientes de las incógnitas de la diagonal son igual a uno, como ocurre en las ecuaciones 1,3 y 4. Aunque esto no es necesario para encontrar la solución, si priorizaremos que todos los coeficientes de la diagonal sean igual a uno.

Resolvamos el sistema.

Sustituimos w en la ecuación 3.

z+ 2(‑2) = ‑4  obtenemos que  z= 0.

Sustituye en la ecuación 2 el valor de w y z para obtener el valor de y. Con él y los otros valores obtén el valor de x con la primera ecuación.

Pregunta: ¿Cuál es la solución del sistema?

Dado el siguiente sistema de ecuaciones procederemos entre todos a triangularlo.

El primer paso que propone Gauss es tener la primera ecuación con   la primera literal con coeficiente uno, (la x sola).

¿Cuáles de los siguientes procedimientos permiten tener la primera ecuación con la condición descrita?

Realizado el intercambio de ecuaciones obtenemos el siguiente sistema  equivalente.

Conseguida la ecuación 1 en la forma deseada, el siguiente paso es que en las ecuaciones subsecuentes no aparezca la x. La ecuación 2 ya está. ¿Cuál combinación lineal permite eliminar la x  de la ecuación 3?

Identifica que cuál es el sistema equivalente resultante.

Aunque con este sistema equivalente ya podemos ir encontrando la solución (los valores de las literales) continuaremos considerando las propuestas de Gauss para triangular el sistema. Ahora se requiere coeficiente 1, de “y” en segunda ecuación.

Identifica las operaciones que hay que realizar para obtener el siguiente sistema equivalente.

Siguiendo la secuencia de este sistema se busca un nuevo sistema donde no aparezca “y” en la tercera ecuación, lo cual ya se tiene (en el caso que no fuera así se usaría una combinación lineal de la ecuación 2 con la ecuación 3). El paso que debemos dar es obtener una tercera ecuación equivalente teniendo al término  z con coeficiente 1.

Identifica por cuál número hay que multiplicar a la ecuación para obtener lo deseado.

Por qué número hay que multiplicar  ‑ 6 para que nos resulte 1.

Con el sistema triangular obtenemos  la solución aplicando la sustitución regresiva, es decir partiendo de la última ecuación ir sustituyendo en la inmediata anterior, para ir obteniendo el valor de otra literal y así sucesivamente.

Sustituye el valor de z de la última ecuación en la segunda ecuación e identifica el valor de y.

Finalmente sustituye los valores obtenidos en la primera ecuación y obtén el valor de x, así identificar la solución del sistema.