En el aprendizaje de las matemáticas el lenguaje tiene un papel muy importante, con él representamos ideas, conceptos y otras abstracciones. Podemos afirmar que la adquisición de un concepto depende, en gran parte, de la capacidad para reconocerlo e interpretarlo desde, al menos, una representación del mismo en el lenguaje. Un concepto está ligado a otros más, su comprensión está sujeta a las relaciones que guarda con esos otros conceptos que le dan sentido y significado (red semántica).
Así, el concepto de función tiene una estructura de red en donde aparecen en conexión con éste otros conceptos como: razón, proporción, variable, dependencia, sentido de la relación, representaciones de la función: numérica (tabla), gráfica y simbólica algebraica, entre otros. Es posible abordar la idea de función desde cada uno de estos conceptos, con lo cual se pondrán de relieve distintas características y diferentes visiones de lo que se entiende por función. En este sentido, al considerar una función bajo la idea de variable, al dominio se le da poca atención porque implícitamente se considera ordenado y generalmente continuo o cuando menos denso, y se enfatiza la forma en la que cambia la variable dependiente.
En cuanto al tema de las representaciones y partiendo de la idea de función como expresión de una dependencia entre variables —para simplificar, nos referiremos siempre a dos variables en esta unidad de estudio del curso— podemos considerar las siguientes representaciones de la función que se abordan en el programa:
Cada uno de estos modelos (representaciones) permite expresar la dinámica de un fenómeno, descrita por cantidades que varían atendiendo a una relación de dependencia entre ellas (función).
La lectura del modelo físico que resulta al llevar a cabo un experimento o al simularlo en una computadora, es la expresión del lenguaje más cercano al fenómeno de estudio y menos simbólico. Para construir los diferentes modelos que representan a una función, con fines didácticos para el bachillerato, en primer lugar debemos considerar la descripción verbal que utiliza el lenguaje común para darnos una visión descriptiva y generalmente cualitativa de la relación funcional, y a la cual nos referimos cuando queremos interpretar las restantes representaciones en lenguajes simbólicos de mayor nivel de complejidad y abstracción.
En otro nivel de abstracción, la tabla de valores proporciona una visión cuantitativa interpretable desde la óptica de correspondencia entre cantidades. Es decir, de la identificación de parejas de valores, pero en la mayoría de los casos parcial e insuficiente, puesto que de ella difícilmente podemos extraer las características globales de la relación funcional, como el tipo de: variación, asociación, dependencia, entre otras.
Los dos modelos de representación de la función de mayor abstracción, por tanto más difíciles de expresar e interpretar, son la gráfica y la expresión algebraica. Estas representaciones de la función proporcionan más información global, tanto cualitativa como cuantitativamente, que las representaciones anteriores, al mismo tiempo que posibilitan la lectura más completa de las características de los modelos funcionales, aunque aproximada en el caso de la gráfica de la función estudiada.
En el caso de la gráfica como imagen fija, aun cuando ésta es una representación compleja de la función, donde a golpe de vista se puede leer la dinámica de una situación, una diferencia entre ella y la expresión algebraica es evidente: la gráfica, al ser un lenguaje predominantemente esquemático, permite «ver» la puntualidad de las características globales de la función (variaciones y períodos constantes, crecimiento, continuidad, concavidad, máximos y mínimos, periodicidad, etc.); lo que no es inmediatamente visible desde la expresión algebraica. Por otra parte, el modelo algebraico ofrece los elementos que permiten precisión en el análisis de la función pues puede abordarse con cualquier valor que pertenezca al dominio.
Las características puntuales de las funciones son determinables desde la expresión algebraica, pero mucho más difíciles de interpretar, ya que su determinación, a través del lenguaje algebraico por un lado presupone el conocimiento del significado de los símbolos utilizados y, por otro, la interpretación a través de ellos de conceptos abstractos, que a través de la gráfica es posible intuir más fácilmente. Además, el modelo algebraico permite determinar valores de ambas variables con precisión, siempre que se conozca el algoritmo de resolución de la ecuación correspondiente, mientras que a través de la gráfica el proceso es mucho más directo, aunque nos da, tan sólo valores aproximados debido a la lectura de las coordenadas del punto que los representa.
El proceso de aprendizaje de las funciones, en principio, demanda la adquisición de cada uno de los lenguajes de representación, esto es lo que brindará la capacidad para leer e interpretar cada uno de ellos, para que se pueda pasar de una representación a otra y lograr transitar fluidamente entre todas ellas.
