Generalización del concepto de la variación directa
Los tres problemas abordados, áreas, gasolinazo y resorte, involucran la variación directa cuya razón de cambio son 2, 18 y 0.4, respectivamente. Todos ellos te apoyaron en la comprensión del concepto de la variación directa y su representación simbólica. La generalización del concepto de la variación directamente proporcional es la siguiente:
La variación directamente proporcional describe una relación entre dos variables comúnmente representadas con $x$ e $y$, además, cuando una de ellas aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye y su representación algebraica es $y=ax$, donde $a$ es la constante de proporcionalidad y debe ser diferente de cero, por último, puede expresarse como $\frac{y}{x}= a$, para $x\neq 0$.
Consideremos que los puntos $P_{1} (x_{1},y_{1})$ y $P_{2} (x_{2},y_{2})$ corresponden a la variación directa $\frac{y}{x}=a$, motivo por el cual satisfacen la razón de cambio $\frac{y_{1}}{x_{1}}=a$ y $\frac{y_{2}}{x_{2}}=a$. Luego por la transitividad de ambas expresiones se concluye que $\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}}$, esta expresión se le conoce como una proporción y se utiliza para la resolución de problemas que involucran variación directa, comúnmente llamada regla de tres.
Para ejemplificar su aplicación, retomemos el Problema del resorte y consideremos que un peso de 
experimenta un alargamiento de 6 cm. Determina el alargamiento para un peso de 
.
Solución. Al sustituir los datos en la expresión 
, se obtiene $\frac{6}{15}=\frac{y}{44}$. Ahora, como en toda proporción el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos que se ilustran con las flechas, resulta $6\cdot 44=15y$, luego al multiplicar a los lados de la ecuación con el recíproco de $15\left ( \frac{1}{15} \right )$ y realizar operaciones, se obtiene que el alargamiento es $y=17.6$ cm.
En el mismo contexto, retomemos el Problema del gasolinazo y consideremos que el costo por 4 litros de gasolina es de 72. Si el conductor del automóvil paga 729, ¿cuántos litros de gasolina compró?
Solución. Al sustituir los datos en la expresión , se obtiene $\frac{72}{4}=\frac{729}{x}$. Ahora, como en toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos que se ilustran con las flechas, que resulta $72x= 4\cdot 729$, luego al multiplicar a los lados de la ecuación con el recíproco de $72\left ( \frac{1}{72} \right )$ y realizar operaciones, se obtiene que los litros comprados son $x=40.5$. En la actividad final se vuelve a retomar la regla de tres para la resolución de problemas de variación directa.