Radicales como pontencias

En esta sección se presentan los procedimientos que te permitirán la representación de los radicales como una potencia con exponente fraccionario y viceversa, para ello, aplicarás las leyes de las potencias y de los radicales. Se te presentan ejemplos relacionados con ambas representaciones, así como, ejercicios que te permitirán la habilidad y las destrezas en el tránsito entre los radicales y las potencias.

Ejemplos para la representación de radicales a su potencia con exponente fraccionario.

Simplificar las expresiones:

a) $2^{\frac{1}{2}}\cdot{}2^{\frac{1}{2}}$

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que $2^{\frac{1}{2}\ }\cdot{}2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=2^1=2$

b) $\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2}$

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que $\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2}=\sqrt{4}=2$

Como $2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}=2$ y $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, se concluye que $2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$ (a esta propiedad se le llama en Matemáticas transitividad), por lo que la representación de la potencia $2^{\frac{1}{2}}$ es el radical $\sqrt{2}$.

Simplificar las expresiones:

a) $3^{\frac{1}{3}}\cdot{}3^{\frac{1}{3}}\cdot{}3^{\frac{1}{3}}$

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que $3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=3^{1}=3$

b) $\sqrt[3]{3}\cdot{}\sqrt[3]{3}\cdot{}\sqrt[3]{3}$

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que $\sqrt[3]{3}\cdot{}\sqrt[3]{3}\cdot{}\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{27}=3$

Como $3^{\frac{1}{3}}\cdot{}3^{\frac{1}{3}}\cdot{}3^{\frac{1}{3}}$ y $\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}=3$, se concluye que $3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3}$ y la representación de la potencia $3^{\frac{1}{3}}$ es el radical $\sqrt[3]{3}$.

Simplificar las expresiones:

a) $4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}$

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que $4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}=4^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=4^1=4$

b) $\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}$

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que $\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{256}=4$

Como $4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}\cdot{}4^{\frac{1}{4}}=4$ y $\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}\cdot{}\sqrt[4]{4}=4$, se concluye que $4^{\frac{1}{4}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}\cdot 4^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[4]{4}$ y la representación de la potencia $4^{\frac{1}{4}}$ es el radical $\sqrt[4]{4}$.

Simplificar las expresiones:

a) $5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}$

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que $5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}=5^{\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}}=5^1=5$

b) $\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}$

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que $\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}=\sqrt[5]{3125}=5$

Como $5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}=5$ y $\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}$, se concluye que $5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}\cdot{}5^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}\cdot{}\sqrt[5]{5}$ y la representación de la potencia $5^{\frac{1}{5}}$ es el radical $\sqrt[5]{5}$.

Con base en los ejemplos se obtuvieron las representaciones: $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2},3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3},4^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{4}$ y $5^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{5}$ por lo que se puede intuir que la generalización se expresa como:

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Esta identidad te permitirá expresar potencias con exponente fraccionario como un radical.

a) $2^{\frac{3}{5}}$

Como $\frac{3}{5}=3\left(\frac{1}{5}\right)$, se tiene que $2^{\frac{3}{5}}={2^{3(\frac{1}{5})}=\left(2^3\right)}^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{2^3}$

b) $3^{\frac{4}{7}}$

Como $\frac{4}{7}=4\left(\frac{1}{7}\right)$, se tiene que $3^{\frac{4}{7}}={3^{4(\frac{1}{7})}=\left(3^4\right)}^{\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{3^4}$

c) $5^{\frac{5}{3}}$

Como $\frac{5}{3}=5\left(\frac{1}{3}\right)$, se tiene que $5^{\frac{5}{3}}={5^{5(\frac{1}{3})}=\left(5^5\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{5^5}$

Con base en los ejemplos y aprovechando tu imaginación se obtiene la representación para el caso general, es decir, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$. Esta ley se utiliza en la simplificación de expresiones aritméticas que contengan potencias y radicales.

Alumno: