Las actividades que realizaste con anterioridad te permitieron comprender el significado de las potencias, la deducción de sus leyes con exponente entero y su operatividad. En este apartado estudiarás la operación inversa de la potenciación, llamada radicación, su representación simbólica es una potencia con exponente fraccionario.
Pero antes, revisa el siguiente esbozo histórico sobre la radicación.
La radicación es la operación que consiste en determinar un número llamado raíz que multiplicado tantas veces como lo especifica el índice, da como resultado el número que se encuentra en el radical (radicando). En el siguiente escenario puedes comprobar cómo ocurre esto para casos particulares, que te permitirán su generalización a través del método inductivo. Para ello, arrastra los deslizadores y notarás que se obtiene un radical que tiene como radicando $a$ y como índice $n$, así como, su raíz, tal como lo puedes apreciar en el recurso GeoGebra.
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Con el recurso GeoGebra comprendiste que la radicación es la operación que consiste en multiplicar la raíz por sí misma las veces que indica el índice del radical, además, cuando el radicando es positivo la raíz es positiva con índice par o impar, sin embargo, cuando el radicando es negativo, sólo tiene raíz negativa para índice impar, mientras que, para índice par, la raíz no existe y cuando el radicando es cero, la raíz es cero para índice par e impar.
Ahora revisa los siguientes ejemplos en los que se aplica esta ley:
Es importante mencionar que para obtener las raíces de los radicales propuestos es conveniente representar al radicando como potencias de sus factores primos y extraer la raíz, según corresponda.
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$\sqrt{25}=\sqrt{{\left(5\right)}^2}=5$, ya que $5^2=25$
| 25 | Factores primos |
| 5 | 5 |
| 1 | 5 |
$25=5^2$
$\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$, puesto que $4^3=64$
| 64 | Factores primos |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 | 2 |
$64=2^6={\left({\left(2\right)}^2\right)}^3=4^3$
$\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$, puesto que $3^4=81$
| 81 | Factores primos |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | 3 |
$81=3^4$
$\sqrt[5]{-3125}=\sqrt[5]{-5^5}=-5$, puesto que ${-5}^5=-3125$
| 3125 | Factores primos |
| 625 | 5 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 | 5 |
$-3125={-5}^5$
De acuerdo con los ejemplos presentados el procedimiento para obtener la raíz del radicando $a$, éste se escribe como una potencia de exponente igual al índice del radical. Ahora como la raíz y la potencia son operaciones inversas, el índice del radical y el exponente de la potencia se neutralizan y la raíz es la base de la potencia. La generalización, para la extracción de la raíz $n$ enésima del radicando $a$, es mediante la expresión algebraica es $\sqrt[n]{a}=b$, ya que $a=b^n$.
Puedes observar que las raíces obtenidas son perfectas (tienen raíz $n$-enésima exacta), sin embargo, también existen radicales cuyas raíces no son exactas, los siguientes ejemplos ilustran los procedimientos para determinar raíces cuadradas enteras y la última incluye decimales.
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Lee el procedimiento que se te muestra a continuación y apóyate en la tabla que está a la derecha para observar el desarrollo.
- Por tratarse de raíz cuadrada, el radicado se separa en periodos de dos cifras empezando de derecha a izquierda y se escribe en el reglón 1 (R1), columna B.
- Obtener la raíz cuadrada del primer periodo de izquierda a derecha, en el ejemplo $\sqrt{4}=2$, éste es el primer dígito de la raíz cuadrada y se escribe en el renglón 1 (R1), columna B.
- Elevar al cuadrado la raíz obtenida $(2)^{2}=4$ y restarla del periodo en cuestión (4), en el ejemplo 4-4=0 y esta cantidad se coloca en el renglón 2 (R2), columna A.
- Duplicar la raíz (2) y colocarla en el segundo renglón, columna B (4), bajar el siguiente periodo del radical (75) al renglón 2, columna A y dividir la cifra que se encuentra a la izquierda de las unidades (5), en el ejemplo $\frac{7}{4}\doteq{}1$ y se escribe en ambos renglones de la columna B (21 y 41), ya previamente se había escrito el 2 y el 4.
- Multiplicar el segundo dígito de la raíz (1) por el número del segundo renglón (41) y se resta de la cifra (75), en el ejemplo queda: $$75-1\cdot 41=34=75-41=34$$
Ahora como ${21}^2=441$ es mayor que el número 34, se toma como la raíz entera el número 21.
$$\sqrt{475}$$
| A | B | |
|---|---|---|
| R1 | $\sqrt{4,75}$ | 21 |
| R2 | 075 | 41 |
| 34 |
Comprobación:
$${21}^2+34=441+34=475$$
Nota: R1 y R2 representan, los renglones 1 y 2, respectivamente del arreglo compuesto por renglones y las columnas.
El símbolo $\doteq{}$ representa el cociente aproximado de la división.
- Al igual que en el ejemplo 1 se debe separar el radicando en periodos de dos cifras (R1, columna A).
- Obtener la raíz cuadrada del primer periodo de izquierda a derecha, en el ejemplo $\sqrt{98}=9$, primer dígito de la raíz cuadrada y se escribe en el primer renglón (R1) columna B.
- Elevar al cuadrado la raíz obtenida $\left ( 9 \right )^{2}=81$ y restarla del periodo en cuestión (98), en el ejemplo 98-81=17 y se escribe en el renglón 1 (R1), columna B.
- Duplicar la raíz (9) y colocarla en el segundo renglón, columna B (18), bajar el siguiente periodo y dividir la cifra que se encuentra a la izquierda de las unidades (5) entre el número del renglón 2 (18), en el ejemplo $\frac{172}{18}\doteq{}9$ y se escribe en los renglones 1 y 2 (99 y 189), ya previamente se había escrito 9 y 18.
- Multiplicar el segundo dígito de la raíz (9) por el valor del segundo renglón, columna B y se le resta al número (1725), en el ejemplo queda: $$1725-9\cdot 189=24=1725-1701=24$$
Por la misma argumentación del ejemplo 1, la raíz cuadrada entera es 99.
$$\sqrt{9825}$$
| A | B | |
|---|---|---|
| R1 | $\sqrt{98,25}$ | 99 |
| R2 | 1725 | 189 |
| 024 |
Comprobación:
$${99}^2+24=9801+24=9825$$
Nota: R1 y R2 representan, los renglones 1 y 2, respectivamente del arreglo compuesto por renglones y las columnas.
El símbolo $\doteq{}$ representa el cociente aproximado de la división.
- Al igual que los ejemplos anteriores, se debe separar el radicando en periodos de dos cifras de derecha a izquierda (R1, columna A).
- Obtener la raíz cuadrada del primer periodo de izquierda a derecha, en el ejemplo $\sqrt{5}\doteq{}2$, primer dígito de la raíz cuadrada y se escribe en el renglón 1, columna B.
- Elevar al cuadrado la raíz obtenida $(2)^{2}=4$ y restarla del periodo en cuestión (5), en el ejemplo 5-4=1.
- Duplicar la raíz (2) y colocarla en el segundo renglón, columna B (4), bajar el siguiente periodo y dividir la cifra que se encuentra a la la izquierda de las unidades (4), entre el valor del segundo renglón, columna B, en el ejemplo $\frac{19}{4}\doteq{}4$ y se escribe en los renglones 1 y 2 (24 y 44), respectivamente, ya previamente se había escrito 2 y 4.
- Multiplicar el segundo dígito de la raíz (4) por el valor del segundo renglón (44) y se resta de la cifra (194), en el ejemplo queda $194-4\cdot{}44=194-176=18$.
- Duplicar la raíz del renglón 1, columna B (24) y colocarla en el tercer renglón, columna B (48), bajar el siguiente periodo y dividir la cifra que se encuentra a la izquierda de las unidades (6), entre el valor del renglón 3, en el ejemplo $\frac{187}{48}\doteq{}3$ y se escribe en el primer y segundo renglón de la columna B (243 y 483), ya previamente se había escrito 24 y 48.
- Multiplicar el tercer dígito de la raíz del renglón 1 (3) por el valor del renglón 3 (483) y se resta del segundo resto (1876), en el ejemplo queda:
$$1876-3\cdot{}483=1876-1449=427$$ Por la misma argumentación de los ejemplos anteriores, la raíz cuadrada entera es 243.
$$\sqrt{5,94,76}$$
| A | B | |
|---|---|---|
| R1 | $\sqrt{5,94,76}$ | 243 |
| R2 | 194 | 44 |
| R3 | 1876 | 483 |
| 427 |
Comprobación:
$${243}^2+427=59049+427=59476$$
Nota: R1, R2 y R3 representan, los renglones 1, 2 y 3, respectivamente del arreglo compuesto por los renglones y las columnas.
El símbolo $\doteq{}$ representa el cociente aproximado de la división.
Ahora se explicará cómo determinar raíces con decimales, para ello se retomará el ejemplo anterior.
- Se agregan dos ceros al último resto, que está en la columna A, renglón 1. En el ejemplo pasaría de 420 a 42700.
- Duplicar la raíz 243 y colocarla en el renglón 4 (486) y dividir la cifra que se encuentra a la izquierda de las unidades (0) entre el valor del cuarto renglón, en el ejemplo $\frac{4270}{486}\doteq{}8$ y se escribe en los renglones 1 y 4 (243.8 y 4868), ya previamente se habían escrito 243 y 486.
- Multiplicar el cuarto dígito de la raíz del renglón 1, columna B (8) por el valor del cuarto renglón, columna B (4868), sin considerar el punto decimal y se resta del tercer resto (42700), en el ejemplo queda: $$42700-8\cdot{}4868=42700-38944=3756$$
Por lo que la raíz cuadrada con un decimal es 243.8. - Agregar dos ceros al cuarto resto 375600 para incluir otro decimal a la raíz y aplicar los mismos procedimientos utilizados para el primer decimal.
- Duplicar la raíz 243.8 sin considerar el punto decimal y colocarla en el quinto renglón del arreglo (4876) y dividir la cifra que se encuentra a la izquierda de las unidades (0) entre el valor del renglón 5, en el ejemplo $\frac{37560}{4876}\doteq{}7$ y se escribe en los renglones 1 y 5 (243.87 y 48767), ya previamente se había escrito 243.8 y 4876.
- Multiplicar el quinto dígito de la raíz (7) por el valor del cuarto renglón (48767), sin considerar el punto decimal y se resta del cuarto resto (375600), en el ejemplo queda: $$375600-7\cdot{}48769=$$ $$375600-438921=43217$$
Por la misma argumentación de los ejemplos anteriores, la raíz cuadrada con dos decimales es 243.87.
$$\sqrt{5,94,76\ \ \ }$$
| A | B | |
|---|---|---|
| R1 | $\sqrt{5,94,76\ \ \ }$ | 243.87 |
| R2 | 194 | 44 |
| R3 | 1876 | 483 |
| R4 | 42700 | 4868 |
| R5 | 375600 | 48767 |
| 34217 |
Comprobación:
$${243.8}^2+37.56=59438.44+37.56=59476$$
Para la comprobación el último resto 3756, se considera con punto decimal 37.56, ya que se agregaron dos ceros.
Nota: R1, R2, R3, R4 y R5 representan, los renglones 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente del arreglo compuesto por renglones y columnas.
El símbolo $\doteq{}$ representa el cociente aproximado de la división.
Para considerar más decimales se sigue el mismo procedimiento.
Comprobación:
$${243.8}^2+37.56=59438.44+37.56=59476$$