Simplificación

Ejemplos de simplificación de potencias

Observa cómo se simplifican las siguientes potencias de manera que, en cada una, no aparezca más de una potencia de la misma base, ni exponentes negativos o cero.

Procedimientos	Ejemplo 1
Identificar las potencias que incluye la expresión.	a) $2^3\cdot{}3^3\cdot{}6^2$
Representación del producto de potencias como la potencia de un producto en a).	b) ${\left(2\cdot{}3\right)}^3\cdot{}6^2$
Efectuar la multiplicación de la potencia en b).	c) ${\left(6\right)}^3\cdot{}6^2$
Realizar la multiplicación de las potencias en c), para ello, se suman los exponentes ya que tienen igual base.	d) $6^5$

Procedimientos	Ejemplo 2
Identificar las potencias que aparecen en la expresión.	a) $2^5\cdot{}3^3\cdot{}2^{-7}\cdot{}3^{-5}\cdot{}2^5$
Efectuar la multiplicación de las potencias en a), recuerda que se suman los exponentes de la misma base.	b) $2^3\cdot{}3^{-2}$
La potencia negativa en b), se sustituye por su equivalente $3^{-2}=\frac{}1{3^{2}}$	c) $\frac{2^3}{3^2}$

Procedimientos	Ejemplo 3
Identificar las potencias de la expresión.	a) $\frac{5^{15}\cdot{}5^2\cdot{}5^{-6}}{5^9\cdot{}5^{-5}\cdot{}5^7}$
Realizar las multiplicaciones en a), recuerda que se suman los exponentes por tener la misma base.	b) $\frac{5^{11}}{5^8}$
Efectuar la división de las potencias en b), recuerda que se restan los exponentes ya que tienen igual base.	c) $5^3$

Procedimientos	Ejemplo 4
Identificar las potencias en la expresión.	a) $\frac{6^3\cdot{}3^5}{2^3\cdot{}9^2}$
Representar las potencias $6^{3}$ y $9^{2}$ en a), por $(2\cdot 3)^{3}$ y $(3\cdot 3)^{2}$, respectivamente.	b) $\frac{(2\cdot 3)^{3}\cdot 3^{5}}{2^{3}\cdot (3\cdot 3)^{2}}$
Representar las potencias $(2\cdot 3)^{3}$ y $(3\cdot 3)^{2}$ en b) por $3^{2}\cdot 3^{2}$ y $3^{2}\cdot 3^{2}$, respectivamente.	c) $\frac{2^3\cdot{}3^3\cdot{}3^5}{2^3\cdot{}3^2\cdot{}3^2}$
Realizar las multiplicaciones de potencias en c), recuerda que los exponentes se suman de igual base.	d) $\frac{2^3\cdot{}3^8}{2^3\cdot{}3^4}$
Efectuar la división de las potencias en d), recuerda que se restan los exponentes de igual base.	e) $2^0\cdot{}3^5$
Realizar la multiplicación en e), recuerda que $2^{0}=1$.	f) $3^5$

Procedimientos	Ejemplo 5
Identificar las potencias en la expresión.	a) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{15}\cdot{}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{10}$
Efectuar la potencia del producto de potencias en a), recuerda que los exponentes se multiplican.	b) $\frac{3^{15}}{2^{15}}\cdot{}\frac{4^{10}}{3^{10}}$
Realizar las potencias de las divisiones en b), recuerda que cada número de éstas tiene por exponente el mismo de la potencia.	c) $\frac{3^{15}}{2^{15}}\cdot{}\frac{{\left(2^2\right)}^{10}}{3^{10}}$
Sustituir 4 por $2^2$ en c), para que aparezcan solo potencias de 2 y 3.	d) $\frac{3^{15}}{2^{15}}\cdot{}\frac{2^{20}}{3^{10}}$
Realizar la potencia de la potencia en d).	e) $2^5\cdot{}3^5$
Efectuar las divisiones de las potencias en e), recuerda que los exponentes se restan cuando tienen base igual.	f) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{15}\cdot{}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{10}$

Ejemplos de simplificación de raíces

Procedimientos	Ejemplo 1
Identificar los radicales que aparecen en la expresión.	a) $\sqrt[6]{2^2}\cdot{}\ \sqrt[6]{2^4}\cdot{}\sqrt[6]{2^5}$
Representar las multiplicaciones de los radicales en a), por el radical con las multiplicaciones de los radicandos.	b) $\sqrt[6]{2^2\cdot{}2^4\cdot{}2^5}$
Realizar las multiplicaciones de las potencias en b), recuerda que se suman los exponentes de igual base.	c) $\sqrt[6]{2^{11}}$
Sustituir $2^{11}$ por su igual $2^{6}\cdot 2^{5}$ en c), para igualar potencias con índice igual al del radical.	d) $\sqrt[6]{2^6\cdot{}2^5}$
Sustituir el radical de la multiplicación de potencias en d), por la multiplicación de radicales.	e) $2\cdot{}\sqrt[6]{2^5}$
Extraer la raíz exacta en d), recuerda que $\sqrt[6]{2^{6}}=2^{\frac{6}{6}}=2^{1}=2$.	f) $\sqrt[6]{2^2}\cdot{}\ \sqrt[6]{2^4}\cdot{}\sqrt[6]{2^5}$

Procedimientos	Ejemplo 2
Identificar los radicales que aparecen en la expresión	a) $\sqrt[7]{2^6\cdot{}\ 3^2\cdot{}5^4}$ $\ \sqrt[7]{2^9\cdot{}\ 3^3\cdot{}5^6}$
Sustituir la multiplicación de los radicales en a), por el radical con las multiplicaciones de los radicandos.	b) $\sqrt[7]{2^6\cdot{}\ 3^2\cdot{}5^4\cdot{}2^9\cdot{}3^3\cdot{}5^6}$
Realizar el producto de las potencias en b), recuerda que se suman los exponentes de igual base.	c) $\sqrt[7]{2^{15}\cdot{}3^5\cdot{}5^{10}}$
Sustituir $2^{15}$ por $2^{14}\cdot{}2$ y $5^{10}$ por $5^7\cdot{}5^3$ en c), para igualarlas potencias del radicando con el índice del radical.	d) $\sqrt[7]{2^{14}\cdot{}2\cdot{}3^5\cdot{}5^7\cdot{}5^3}$
Extraer la raíz exacta en d), recuerda que $\sqrt[7]{2^{14}}=2^{\frac{14}{7}}=2^{2}$ y $\sqrt[7]{5^{7}}=5^{\frac{7}{7}}=5^{1}=5$.	e) $2^2\cdot{}5\cdot{}\sqrt[7]{{2\cdot{}3}^5\cdot{}5^3}$
Aplicar potencia y multiplicación en e), para simplificar el radical ya que $2^{2}\cdot 5=4\cdot 5=20$.	f) $20\cdot{}\sqrt[7]{{2\cdot{}3}^5\cdot{}5^3}$

Procedimientos	Ejemplo 3
Identificar los radicales que aparecen en la expresión	a) $\frac{\sqrt[8]{2^{15}\cdot{}3^{45}\cdot{}4^{20}}}{\sqrt[8]{2^{79}\cdot{}3^{21}\cdot{}4^{68}}}$
Representar la división de radicales en a), por el radical que contenga la división de los radicandos.	b) $\sqrt[8]{\frac{2^{15}\cdot{}3^{45}\cdot{}4^{20}}{2^{79}\cdot{}3^{21}\cdot{}4^{68}}}$
Efectuar la división de las potencias en b), recuerda que $\frac{2^{15}}{2^{79}}=\frac{1}{2^{64}}$, $\frac{3^{45}}{3^{21}}=3^{24}$ y $\frac{4^{20}}{4^{68}}=\frac{1}{4^{48}}$.	c) $\sqrt[8]{\frac{3^{24}}{2^{64}\cdot{}4^{48}}}$
Sustituir el radical de la división de las potencias en c), por la división de los radicales de los radicandos.	d) $\frac{3^3}{2^8\cdot{}4^6}$
Obtener las raíces de los radicales en d), recuerda que $\sqrt[8]{3^{24}}=3^{\frac{24}{8}}=3^{3}$, $$\sqrt[8]{2^{64}}=3^{\frac{64}{8}}=2^{8}$$ y $\sqrt[8]{4^{48}}=8^{\frac{48}{8}}=4^{6}$.	e) $\frac{\sqrt[8]{2^{15}\cdot{}3^{45}\cdot{}4^{20}}}{\sqrt[8]{2^{79}\cdot{}3^{21}\cdot{}4^{68}}}$