Problema 3 - Perímetro de la circunferencia y área del círculo

¿Conoces el procedimiento para la construcción de polígonos regulares en una circunferencia? Si no lo sabes, consulta el video:

El matemático griego Eudoxio calculó áreas de círculos y volúmenes de pirámides egipcias con el método de exhaución que inventó; consiste en la aproximación al área de un círculo de radio $r$ con áreas de polígonos regulares inscritos a éste con una mejor aproximación cuando el número de lados del polígono crece, el método se presenta con el siguiente video.

Escribir

Con base en la presentación del video y el recurso GeoGebra, el perímetro de los polígonos de radio $r$ y su área se organizan en la siguiente tabla. A partir de ésta y de tu imaginación geométrica y matemática, contesta la primera pregunta y fundamenta tu respuesta, también escribe la opción correcta (A, B) para contestar las dos últimas preguntas.

$\pi r ^{2}$

$2\pi r$

Lados $l_{n}$ del polígono	Perímetro del polígono $p_{n}$	Área del polígono $A_{n}$
4	$2r*2.82843$	$2.00000r^{2}$
8	$2r*3.06147$	$2.82843r^{2}$
16	$2r*3.12145$	$3.06147r^{2}$
32	$2r*3.13655$	$3.12145r^{2}$
64	$2r*3.14033$	$3.13655r^{2}$
128	$2r*3.14128$	$3.14033r^{2}$
256	$2r*3.14151$	$3.14128r^{2}$
512	$2r*3.14157$	$3.14151r^{2}$
1024	$2r*3.14159$	$3.14157r^{2}$
...	...	...
$n$	$p_{n}$	$A_{n}$

$\infty$	$2\pi r$	$\pi r^{2}$

¿El método de exhaución de Eudoxio es un proceso infinito SI/NO?

Sí

¿Cuándo el número de lados n del polígono regular tiende a infinito, a qué valor tienden los perímetros de los polígonos regulares de radio $r$ ?

¿Cuándo el número n del lado de los polígonos regulares tiende a infinito, a qué valor tiende el área de los polígonos regulares de radio $r$ ?

El método de exhaución utilizado para determinar el perímetro de una circunferencia y el área de un círculo, mediante perímetros y áreas de polígonos regulares es un proceso infinito, ya que siempre puedo construir un polígono más.

b) $\lim_{n \to \infty}l_{n}=2\pi r$ , es decir, el perímetro de la circunferencia.

a) $\lim_{n \to \infty}A_{n}=\pi r^{2}$ , es decir, el área del círculo de radio $r$ .

Problema 3 - Perímetro de la circunferencia y área del círculo

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