Con base en la construcción del triángulo de Sierpinsky y la organización de los datos de la tabla, se observan las siguientes características:
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El número de triángulos iluminados generan la sucesión $t_{1}=1$, $t_{2}=3$, $t_{3}=9$, $t_{4}=27$, $t_{5}=81$, $t_{6}=243$, etc. Ésta forma la progresión geométrica y satisface la expresión $t_{k+1}=r\cdot t_{k}$ donde su razón se determina con la expresión $r=\frac{t_{k+1}}{t_{k}}$.
Por ejemplo, para $k=5$, $r=\frac{t_{6}}{t_{5}}=\frac{729}{243}=3$.
Para que te familiarices con ésta, inténtalo para otros valores de $k$.
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La longitud del lado del triángulo iluminado genera la sucesión $l_{1}=\frac{1}{2}$, $l_{2}=\frac{1}{4}$, $l_{3}=\frac{1}{8}$, $l_{4}=\frac{1}{16}$, $l_{5}=\frac{1}{32}$, $l_{6}=\frac{1}{64}$, $l_{7}=\frac{1}{128}$, etc. Ésta forma la progresión geométrica y satisface la expresión $l_{k+1}=rl_{k}$ y su razón, se determina con la expresión $r=\frac{l_{k+1}}{l_{k}}$.
Por ejemplo, para $k=4$, $r=\frac{l_{5}}{l_{4}}=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{1}{16}}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$
Para que te familiarices con ésta, inténtalo para otros valores de $k$-
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El perímetro de los triángulos iluminados generan la sucesión $p_{1}=3\left ( \frac{1}{2} \right )$, $p_{2}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$, $p_{3}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$, $p_{4}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$, $p_{5}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{5}$, $p_{6}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}$, $p_{7}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{7}$, $p_{8}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{8}$, etc. Ésta forma la progresión geométrica y satisface la expresión $p_{k+1}=rp_{k}$, donde su razón se determina con la expresión $r=\frac{p_{k+1}}{p_{k}}$.
Por ejemplo, para $k=6$, $r=\frac{p_{7}}{p_{6}}=\frac{3\left ( \frac{1}{2} \right )^{7}}{3\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}}=\frac{1}{2}$.
Para que te familiarices con ésta, inténtalo para otros valores de $k$.
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El área de los triángulos iluminados generan la sucesión $a_{1}=\frac{\sqrt{3}}{16}$, $a_{2}=\frac{\sqrt{3}}{64}$, $a_{3}=\frac{\sqrt{3}}{256}$, $a_{4}=\frac{\sqrt{3}}{1024}$, $a_{5}=\frac{\sqrt{3}}{4096}$, $a_{6}=\frac{\sqrt{3}}{16384}$, $a_{7}=\frac{\sqrt{3}}{65536}$, etc. Ésta forma la progresión geométrica y satisface la expresión $a_{k+1}=ra_{k}$ donde su razón se determina con la expresión $r=\frac{a_{k+1}}{a_{k}}$.
Por ejemplo, para $k=4$, $r=\frac{a_{5}}{a_{4}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4096}}{\frac{\sqrt{3}}{1024}}=\frac{1024\sqrt{3}}{4096\sqrt{3}}=\frac{1}{4}$
Para que te familiarices con ésta, inténtalo para otros valores de $k$.