Otra forma de obtener el mismo resultado se aplica la característica de las progresiones geométricas, consiste en que cuando la razón común de éstas es menor que uno, es decir, el valor absoluto $\left | r \right |<1$, la suma de la progresión geométrica se calcula con la expresión $S=\frac{l_{1}}{1-r}$, donde $S$ es la suma, $l_{1}$ es el primer término de la sucesión y $r$ es la razón común de la progresión. Aplicando esta expresión a la suma de la áreas de los cuadrados inscritos se tiene $A_{n}=\frac{l_{1}}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$, es decir $A_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+\cdots +\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=1$.
Sólo recuerda que la razón de la progresión geométrica debe ser $\left | r \right |<1$, (significa que la razón debe ser menor que 1 en valor absoluto).
Las expresiones matemáticas para representar el límite de la longitud de los lados, el área de los cuadrados inscritos y la suma de las áreas de los cuadrados inscritos es la siguiente:
Cuando $n\rightarrow\infty$, $l_{n}\rightarrow 0$
Cuando $n\rightarrow\infty$, $C_{n}\rightarrow 0$
Cuando $n\rightarrow\infty$, $A_{n}\rightarrow 1$
- En la notación, la flecha ($\rightarrow$) significa “tiende a”.
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De manera formal se utiliza la notación para representar el límite de una sucesión:
$\lim_{n \to \infty}l_{n}=0$
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La notación significa que el límite de la longitud $l_{n}$ del cuadrado $C_{n}$ es cero cuando $n$ tiende a infinito.
$\lim_{n \to \infty}C_{n}=0$
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La notación significa que el límite del área del cuadrado $C_{n}$ es cero cuando $n$ tiende a infinito.
$\lim_{n \to \infty}A_{n}=1$
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La notación significa que el límite de la suma de las áreas de los cuadrados inscritos $A_{n}$ es $1$ cuando $n$ tiende $a$ infinito.