Características del proceso infinito de los cuadrados inscritos - Parte 1

A partir de la construcción de los cuadrados original e inscritos, y de la organización de las longitudes, áreas y el patrón de comportamiento presentadas en la tabla (últimos tres renglones), se observan las siguientes características:

  1. La longitud del lado $l_{n}$ de cada uno de los cuadrados inscritos tiene una regularidad que la podemos representar mediante el modelo matemático $l_{n}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$, donde $n$ es un número natural que representa el número de paso n del proceso y toma valores desde 1 hasta $n$. Por ejemplo, aplicando el modelo para $n=3$, obtienes la longitud del lado del cuadrado $C_{3}$, es decir, $l_{3}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}=\sqrt{\frac{1}{8}}$; y para $n=7$, obtienes $l_{7}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{7}}=\sqrt{\frac{1}{128}}$. Las longitudes restantes se obtienen de la misma manera; inténtalo para otros valores de $n$.

  2. La longitud de los cuadrados inscritos constituyen una progresión geométrica que se forma con la sucesión ordenada de las longitudes de los cuadrados inscritos; es decir, $l_{1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{1}}$, $l_{2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$, $l_{3}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}$, ... , $l_{n}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$.

    Además, satisfacen la expresión $l_{k+1}=r\cdot l_{k}$, donde $r$ es la razón común de la progresión geométrica que se obtiene con la fórmula $r=\frac{l_{k+1}}{l_{k}}$, donde $k$ es un número entero positivo.

    Por ejemplo, si $k=3$ se obtienen los términos consecutivos de la sucesión $l_{3}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}$ y $l_{4}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}}$; de éstos se obtiene la razón común de la progresión geométrica $r=\frac{l_{k+1}}{l_{k}}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$ y el cuarto término de la sucesión se obtiene con la expresión $l_{4}=r\cdot l_{3}$, resultando $l_{4}=\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}}\cdot\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}=\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}}\cdot \sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}}=\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}}$.

    Obtén el término $7$ de la sucesión.

  3. El área de los cuadrados inscritos también forman una progresión geométrica en la que los términos ordenados de la sucesión son $a_{1}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}$, $a_{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$, $a_{3}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$, ..., $a_{n}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$, que satisfacen la expresión $a_{k+1}=r\cdot a_{k}$ donde $k$ es un número entero positivo y $r$ es la razón común de la progresión geométrica que se obtiene con la expresión $r=\frac{a_{k+1}}{a_{k}}$.

    Por ejemplo, para k=5 se obtiene la razón $r=\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=\frac{a_{6}}{a_{5}}=\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}}{\left ( \frac{1}{2} \right )^{5}}=\frac{1}{2}$ y el término $a_{6}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}\left ( \frac{1}{2} \right )^{5}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}$.

    Determina la razón con otros términos sucesivos y el término $a_{k+1}$ de la sucesión.

  4. El área de cada cuadrado se obtiene con el producto de la base por su altura, pero como la longitud de ambas son iguales por ser un cuadrado, se determina con el cuadrado de la longitud de su lado; por ejemplo, el área del cuadrado $C_{6}$ se obtiene con el cuadrado de la longitud de su lado, es decir, $C_{6}=\left ( \sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}$, dado que el cuadrado y la raíz se neutralizan por ser dos operaciones inversas.

    Determina el área de otros cuadrados.

Escribir

1.

Con base en la figura y tabla observaste que cuando el número de paso del proceso n es más grande cada vez, la longitud del cuadrado es cada vez más pequeño. En este contexto y considerando tu intuición geométrica e imaginación matemática, responde a la pregunta, ¿cuándo el paso $n$ del proceso tiende a infinito, a qué valor tiende la longitud $l_{n}$ de los cuadrados inscritos? Escribe la respuesta en el recuadro.
Es necesario que escribas las respuestas para recibir retroalimentación.

Cuando $n$ tiende a infinito, la longitud $l_{n}$ tiende a

0

Reflexionemos que cuando el paso n del proceso es cada vez más grande, la longitud $\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}}$ del cuadrado $C_{n}$ es cada vez más pequeño; y cuando $n$ tiende a infinito, la longitud $l_{n}$ tiende a $0$.

2.

De igual forma, el área de los cuadrados inscritos tiene un comportamiento similar a la longitud de sus lados; considerando el razonamiento anterior, contesta la pregunta, ¿cuándo el paso $n$ del proceso tiende a infinito, a qué valor tiende el área de los cuadrados inscritos $C_{n}$? Escribe la respuesta en el recuadro.

Cuando el paso $n$ tiende a infinito, el área $C_{n}$ tiende a $m^{2}$

$0m^{2}$

Reflexionemos que cuando el paso $n$ del proceso es cada vez más grande, el área $\left (\frac{1 }{2} \right )^{n}$ del cuadrado $C_{n}$ es cada vez más pequeño, y cuando tiende a infinito el área es $0$.

3.

Ahora, considera la suma $A_{n}$ de las áreas de los cuadrados inscritos y contesta la pregunta, ¿cuándo el paso {n} del proceso tiende a infinito, a qué valor tiende la suma de las áreas de los cuadrados inscritos?, la respuesta escríbela en el recuadro.

Cuando $n$ tiende a infinito, la suma $A_{n}$ tiende a $m^{2}$

$1m^{2}$

Cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito la construcción de los cuadrados inscritos, el área de cada uno de los cuadrados inscritos es la mitad del cuadrado anterior y cubrirá en su totalidad el área del cuadrado original, es decir, $1 m^{2}$.