Problema 2 - Rebotes de una pelota

Se deja caer una pelota desde una altura de 12 metros. Cada rebote alcanza $\frac{3}{4}$ de la altura del rebote anterior hasta que queda en reposo ¿Cuál es la distancia total que recorre la pelota (hacia arriba y hacia abajo) desde que se deja caer hasta que queda en reposo?

pelota

Las distancias que recorre la pelota hacia abajo (color azul) , hacia arriba (color rojo) y la distancia total recorrida, se te presentan con las expresiones matemáticas siguientes:

${\color{} Distancia\downarrow=12+\frac{3}{4}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\left ( 12 \right )+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\left ( 12 \right )}$

${\color{} Distancia\uparrow=\frac{3}{4}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\left ( 12 \right )+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\left ( 12 \right )}$

$DistanciaTotal=12+\frac{3}{4}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\left ( 12 \right )+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\left ( 12 \right )+\frac{3}{4}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\left ( 12 \right )+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\left ( 12 \right )$

$DistanciaTotal=12+2\left [\frac{3}{4}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}\left ( 12 \right )+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}\left ( 12 \right )+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\left ( 12 \right ) \right ]$

$DistanciaTotal=12+2\left ( 12 \right )\left [\frac{3}{4}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\right ]$

$DistanciaTotal=24\left [\left ( \frac{3}{4} \right )^{1}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}+\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}+\cdots +\left ( \frac{3}{4} \right )^{n}\right ]$

Escribir

Con base en el concepto de proceso infinito contesta la pregunta ¿la construcción del Árbol Pitagórico es un proceso infinito SI/NO?, la respuesta escríbela en el recuadro y justifica tu respuesta.

¿Qué tipo de proceso es el que realiza la pelota?

infinito

Determina la razón de la progresión geométrica de la distancia total ubicada al interior del corchete.

$\frac{3}{4}$

Obtén la distancia total que recorre la pelota metros

$84$ metros

a) Es un proceso infinito ya que se puede obtener un resultado más.

b) La razón de la progresión geométrica se obtiene con la expresión $r=\frac{d_{k+1}}{d_{k}}$, donde $d_{k+1}$ y $d_{k}$ son dos términos consecutivos de la sucesión que forma la progresión geométrica, por ejemplo, para $k=3$, $r=\frac{d_{4}}{d_{3}}=\frac{\left ( \frac{3}{4} \right )^{4}}{\left ( \frac{3}{4} \right )^{3}}=\frac{3}{4}$

Como la razón $\left | r \right |<1$ la suma de la sucesión de la progresión geométrica se obtiene con la expresión $DistanciaTotal=12+24\left ( \frac{d_{1}}{1-r}=\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}=3\right)=12+24\left ( 3 \right )=12+72=84m$

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