Perímetro de los triángulos iluminados

¿Cuál es el perímetro de cada nuevo triángulo iluminado?

En el video se te explica los procedimientos algebraicos para obtener el perímetro de cada nuevo triángulo iluminado; presta atención a éste para que identifiques algunas de sus regularidades.

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Con base en la observación de la construcción del triángulo de Sierpinsky, el video y la obtención del área del triángulo original, se organiza la información para el análisis de su perímetro y área. Escribe la opción (A, B, C, D) en el último renglón de la tabla, según corresponda a las expresiones que generan el número de triángulos iluminados, longitud del triángulo iluminado, el perímetro del triángulo y el área del triángulo.

$3\left (\frac{1}{2} \right)^{n}$

$\frac{\sqrt{3}}{4^{n+1}}$

$\left (\frac{1}{2} \right)^{n}$

$3^{n-1}$

Número de paso del proceso $n$	Número de nuevos triángulos iluminados $T_{n}$	Longitud del lado de cada nuevo triángulo iluminado $L_{n}$	Perímetro de cada nuevo triángulo iluminado $P_{n}$	Área de cada nuevo triángulo iluminado $A_{n}$
1	1	$L_{1}=\frac{1}{2}\left (1\right )=\frac{1}{2}=\left (\frac{1}{2} \right)^{1}$	$P_{1}=3\left (\frac{1}{2}\right )$	$A_{1}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{\left ( 4 \right )^{2}}$
2	3	$L_{2}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{2}\right )=\frac{1}{4}=\left (\frac{1}{2} \right)^{2}$	$P_{2}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$	$A_{2}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{16}\right)=\frac{\sqrt{3}}{64}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{3}}$
3	9	$L_{3}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{4}\right )=\frac{1}{8}=\left (\frac{1}{2} \right)^{3}$	$P_{3}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$	$A_{3}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{64}\right)=\frac{\sqrt{3}}{256}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{4}}$
4	27	$L_{4}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{8}\right )=\frac{1}{16}=\left (\frac{1}{2} \right)^{4}$	$P_{4}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$	$A_{4}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{256}\right)=\frac{\sqrt{3}}{1024}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{5}}$
5	81	$L_{5}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{16}\right )=\frac{1}{32}=\left (\frac{1}{2} \right)^{5}$	$P_{5}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{5}$	$A_{5}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{1024}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4096}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{6}}$
6	243	$L_{6}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{32}\right )=\frac{1}{64}=\left (\frac{1}{2} \right)^{6}$	$P_{6}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}$	$A_{6}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{4096}\right)=\frac{\sqrt{3}}{16384}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{7}}$

n	d	c	a	b

El orden de las expresiones solicitadas es D) $3^{n-1}$ , C) $\left (\frac{1}{2}\right )^{n}$ , A= $3\left (\frac{1}{2}\right )^{n}$ y B) $3\left (\frac{1}{2}\right )^{n}$ . Al dar valores al número natural $n$ se obtiene la sucesión que genera el total de triángulos iluminados, la longitud del lado del triángulo, perímetro y área de cada triángulo iluminado.

¿Cuál es el perímetro de cada nuevo triángulo iluminado?

En el video se te explica los procedimientos algebraicos para obtener el perímetro de cada nuevo triángulo iluminado; presta atención a éste para que identifiques algunas de sus regularidades.

Escribir

$3\left (\frac{1}{2} \right)^{n}$

$\frac{\sqrt{3}}{4^{n+1}}$

$\left (\frac{1}{2} \right)^{n}$

$3^{n-1}$

Número de paso del proceso $n$	Número de nuevos triángulos iluminados $T_{n}$	Longitud del lado de cada nuevo triángulo iluminado $L_{n}$	Perímetro de cada nuevo triángulo iluminado $P_{n}$	Área de cada nuevo triángulo iluminado $A_{n}$
1	1	$L_{1}=\frac{1}{2}\left (1\right )=\frac{1}{2}=\left (\frac{1}{2} \right)^{1}$	$P_{1}=3\left (\frac{1}{2}\right )$	$A_{1}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{\left ( 4 \right )^{2}}$
2	3	$L_{2}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{2}\right )=\frac{1}{4}=\left (\frac{1}{2} \right)^{2}$	$P_{2}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$	$A_{2}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{16}\right)=\frac{\sqrt{3}}{64}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{3}}$
3	9	$L_{3}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{4}\right )=\frac{1}{8}=\left (\frac{1}{2} \right)^{3}$	$P_{3}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}$	$A_{3}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{64}\right)=\frac{\sqrt{3}}{256}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{4}}$
4	27	$L_{4}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{8}\right )=\frac{1}{16}=\left (\frac{1}{2} \right)^{4}$	$P_{4}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}$	$A_{4}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{256}\right)=\frac{\sqrt{3}}{1024}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{5}}$
5	81	$L_{5}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{16}\right )=\frac{1}{32}=\left (\frac{1}{2} \right)^{5}$	$P_{5}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{5}$	$A_{5}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{1024}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4096}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{6}}$
6	243	$L_{6}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{32}\right )=\frac{1}{64}=\left (\frac{1}{2} \right)^{6}$	$P_{6}=3\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}$	$A_{6}=\frac{1}{4}\left (\frac{\sqrt{3}}{4096}\right)=\frac{\sqrt{3}}{16384}=\frac{\sqrt{3}}{\left (4\right )^{7}}$

n	d	c	a	b

Considera la suma de las áreas de los triángulos iluminados $A_{n}=\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{3\sqrt{3}}{64}+\frac{9\sqrt{3}}{256}+\frac{27\sqrt{3}}{1024}+\frac{81\sqrt{3}}{4096}+\frac{243\sqrt{3}}{16384}+\cdots+\frac{3^{n-1}\left ( \sqrt{3} \right )}{4^{n+1}}$ y contesta la pregunta ¿cuándo el paso $n$ del proceso tiende a infinito, a qué valor tiende la suma de las áreas? Escribe la opción correcta enel recuadro.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

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