Problema 1 - Árbol Pitagórico

En este apartado aplicarás los aprendizajes que obtuviste sobre los procesos infinitos para la resolución de diversos problemas.

Árbol pitagórico

El Árbol Pitagórico es otro fractal que se construye a partir de un cuadrado dibujando un triángulo rectángulo isósceles (puede ser un triángulo escaleno), de forma que la hipotenusa esté sobre uno de los lados del cuadrado, a éste lo llamaremos cuadrado base. Sobre cada cateto del triángulo se dibuja un cuadrado y se repite el proceso para cada cuadrado que se genere en la etapa anterior. Determina el área de los cuadrados del Árbol Pitagórico.

En el video se presenta la construcción del Árbol Pitagórico; presta atención para que descubras regularidades de sus características.

Con base en la construcción del Árbol Pitagórico ilustrada en el video y con el apoyo de tu imaginación geométrica, observarás, que el lado de los cuadrados tiene infinitos puntos, incluyendo el último de cualquier etapa, luego entonces puedes continuar con la construcción de manera infinita.

Escribir

Con base en el concepto de proceso infinito contesta la pregunta ¿la construcción del Árbol Pitagórico es un proceso infinito SI/NO?, la respuesta escríbela en el recuadro y justifica tu respuesta.

La construcción del Árbol Pitagórico es un proceso infinito (SI/NO):

Justificación

Siempre puedo construir un cuadrado más

La construcción del Árbol Pitagórico es un proceso infinito, puesto que puedo continuar con la construcción de un cuadrado más.

Es necesario que escribas las respuestas para recibir retroalimentación.

Para obtener el área de cada uno de los cuadrados del Árbol Pitagórico, primero debes obtener su longitud y multiplicarla por sí misma, para ello, considera la longitud del cuadrado de la etapa anterior. El video te muestra los procesos algebraicos para determinar la longitud y área de cada uno de los cuadrados en la construcción del Árbol Pitagórico.

Obtener el área de los cuadrados del Árbol Pitagórico a partir del cuadrado base, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos isósceles que se forman en cada paso, para que descubras regularidades del proceso infinito relacionado con las longitudes y áreas de los cuadrados del Árbol Pitagórico.

Escribir

Como aplicación del video escribe la opción que corresponde a los datos faltantes en la tabla y observa con atención la regularidad que presenta el lado y área de cada cuadrado.

a) $16$
b) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{5}$
c) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$
d) $0$
e) $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{3}}$
Paso $n$ de la construcción Cuadrado $C_{n}$ en la construcción Longitud $l_{n}$ del cuadrado $C_{n}$ Área del cuadrado $C_{n}$
1 2 $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{1}}=0.7071$ $\left ( \frac{1}{2} \right )^{1}=0.5000$
2 4 $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{2}}=0.5000$ $\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=0.2500$
3 8 e $\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}=0.1250$
4 a $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{4}}=0.2500$ $\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}=0.0625$
5 32 $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}=0.1767$ b
... ... ... ...
$n$ $2^{n}$ $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{n}}$ c
$\infty$ $\infty$ 0 d

e) $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{3}}=0.3535$

a) En número de cuadrados en la construcción del Árbol Pitagórico en el paso $n=4$ es $16$.

b) El área del cuadrado en el paso $n=5$, $C_{5}$ en la construcción del Árbol Pitagórico es ${\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}=0.31255$

c) La representación general del área del cuadrado en el paso $n$, $C_{n}$ es ${\left (\frac{1}{2} \right )^{5}}$

d) El área el cuadrado $C_{n}$ cuando $n$ tiende a infinito es $0$.

Características de la construcción del Árbol Pitagórico

Con base en la construcción presentada en el video del Árbol Pitagórico, la organización del número de cuadrados, las longitudes, las áreas y el patrón de comportamiento presentadas en la tabla (último renglón), se observan las siguientes características:

Escribir

La longitud de los cuadrados, constituyen una progresión geométrica.

Determina su razón común r y el término l_7 de la sucesión. Escribe la opción que corresponde a cada una de ellas en los recuadros.

a) $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{7}}$
b) $\sqrt{\frac{1}{2}}$

Razón común de la progresión geométrica

b

Término $a_{7}$ de la sucesión

a

Notación de límite del proceso infinito

Con base en la figura, tabla y características del Árbol Pitagórico, utiliza la notación de límite y escribe la opción en el orden especificado que corresponde al límite de los cuadrados, el límite de la longitud del lado del cuadrado y límite del área de los cuadrados.

a) $\lim_{n \to \infty }\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{n}}$
b) $\lim_{n \to \infty }\left (\frac{1}{2} \right )^{n}$
c) $\lim_{n \to \infty }2^{n}$

$\infty$

c

$0$

a

$0$

b

c) Cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito, el número de cuadrados $C_{n}=\left ( 2 \right )^{n}$ tiende a infinito.

a) Cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito, la longitud $\sqrt{\left (\frac{1}{2} \right )^{n}}$ del cuadrado $C_{n}$ tiende a $0$.

b) Cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito, el área $\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}$ del cuadrado $C_n$ tiende a $0$.