Área de los cuadrados inscritos

Para obtener el área de cada uno de los cuadrados inscritos, debes obtener la longitud de sus lados y multiplicarla por sí misma. En el siguiente video se explican los procesos algebraicos para determinar la longitud y el área de cada uno de los cuadrados inscritos.

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En los videos observaste que existe regularidad en las expresiones matemáticas de las longitudes de los lados y de las áreas de cada cuadrado inscritos. Completa la siguiente tabla para evaluar tu comprensión de las regularidades del proceso infinito relacionado con la construcción de los cuadrados mencionados. Escribe la letra de la opción (A, B, C, D) en el cuadro que le corresponde.

a) $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}$

b) $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$

c) $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{5}}$

d) $\left(\frac{1}{2}\right)^{6}$

Número de paso $n$ del proceso Longitud del lado $l_{n}$ del cuadrado $C_{n}$ Área Cuadrado $C_{n}$
1 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{1}}=0.7071$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=0.5000$
2 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=0.5000$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0.2500$
3 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{3}}=0.3535$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=0.1250$
4 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}}=0.2500$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=0.0625$
5 c) $\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=0.0312$
6 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{6}}=0.1250$ d)
7 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{7}}=0.0883$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{7}=0.0078$
8 $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{8}}=0.0625$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{8}=0.0039$
... ... ...
$n$ a) b)
∞ 0 0

Las opciones de la segunda columna de la tabla son C) y A); las de la tercera columna son D) y B). En el proceso de construcción de los cuadrados inscritos al cuadrado original se observa que, cuando el paso $n$ del proceso es más grande cada vez, la longitud y área de los cuadrados inscritos son cada vez más pequeños. Por lo que cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito, la longitud del lado y el área tienden a cero.

Es necesario que escribas las respuestas para recibir retroalimentación.

Para evaluar tu comprensión del tema, contesta la pregunta, ¿cuál es el valor de la longitud del lado y área de los cuadrados inscritos, cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito?; escribe la respuesta en los recuadros.

La longitud $l_{n}$ del cuadrado $C_{n}$ es $m$

$0m$

El área de cuadrado $C_{n}$ es $m^{2}$

$0m^{2}$

Cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito la $l_{n}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}= 0$

Cuando el paso $n$ del proceso tiende a infinito el área de cuadrado $C_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0$

¿Cuál es el resultado de sumar las áreas de los cuadrados inscritos cuando el paso n del proceso tiende a infinito?

Considera la suma de las áreas de los cuadrados que aparecen en la tabla, es decir:

$A_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\left(\frac{1}{2}\right)^{7}+\left(\frac{1}{2}\right)^{8}+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ , cuando $?$ tiende a infinito.

Contesta la pregunta, ¿cuál es el valor de la suma de las áreas de los cuadrados $A_{n}$?; escribe la respuesta en el recuadro.

La suma de las áreas de los cuadrados $A_{n}$ 1 $m^{2}$?

Como las áreas de los cuadrados inscritos cubren la mitad del cuadrado inscrito empezando con el cuadrado original, cuando el paso del proceso n en la construcción tiende a infinito, el área del cuadrado original será cubierto con las áreas mencionadas, es decir, $A_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots +\frac{1}{2^{n}}=1$