Tránsito de la forma general a la estándar

Para facilitar la obtención de los elementos de la función cuadrática se requiere pasar de la función cuadrática de la forma general $y=ax^2+bx+c$ a la forma estándar $y=a(x-h)^2+k$. En el siguiente ejemplo se proporciona la función cuadrática en su forma general y los procesos algebraicos para obtener la forma estándar.

Recuerda que en la forma estándar $y={\color{blue}{a}}(x-{\color{Orange}{h}})^2+{\color{Purple}{k}}$.

  • ${\color{blue}{a}}$ determina la concavidad de la función:
    • ${\color{blue}{a>0}}$: hacia arriba.
    • ${\color{blue}{a<0}}$: hacia abajo.
  • En ${\color{Orange}{x=h}}$ se ubica el eje de simetría.
  • En ${\color{Purple}{y=k}}$ se ubica la ordenada donde cambia de sentido la gráfica.
  • El vértice de la parábola se ubica en $C({\color{Orange}{h}},{\color{Purple}{k}})$.

Si necesitas conocer o repasar este tema consulta cómo obtener la Forma estándar en el estudio de la función cuadrática.

Escribir - Parte 1

Deducir la forma estándar de la función cuadrática especificar los elementos de la función $y=2x^2+4x-6$, que se obtiene al agrupar la variable $x$.

Completa el trinomio cuadrado perfecto en $x$, sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal.

Trinomio cuadrado perfecto
1 Función cuadrática en su forma general $y=2x^2+4x-6$
2 Factorizar el valor común de los términos cuadrático y lineal en $x$ $y=2(x^2+2x)-6$
3 Completar el trinomio cuadrado perfecto en $x$, sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal $y=2(x^2+2x+$ $1$ $-$ $1$$)-6$
4 Agrupando el trinomio cuadrado se obtiene. El término que está restando, “sale” del paréntesis (recuerda que está factorizando por 2): $y=2(x^2+2x+1)+6-$ $2$
5 Simplificando $y=2(x+$ $1$$)^2-$ $8$
6 Finalmente, la forma estándar equivalente es $y={\color{blue}{a}}(x-{\color{Orange}{h}})^2+{\color{Purple}{k}}$ $y=2(x-({\color{Orange}{-1}}))^2{\color{Purple}{-8}}$
Para que puedas recibir retroalimentación es necesario que escribas todas las respuestas.

De la función cuadrática en su forma estándar se obtienen los elementos de la función cuadrática como se indica, completa en los recuadros la información faltante.

Trinomio cuadrado perfecto
1 Las coordenadas del vértice $V(-1,-8)$
2 Eje de simetría $x=-1$
3 Ceros de la función, igualando la función a cero $y=2(x+1)^2-8=$ $0$
$2(x+1)^2=$ $8$
$(x+1)^2=$ $4$
$x+1=\pm$ $2$
$y=2x^2+4x-6=0$ $0$
Identifica los parámetros de la ecuación de segundo grado:
$a=$ $2$ $b=$ $4$, $c=$ $-6$
Sustituyendo en la fórmula general:
$\pm\sqrt{4^2-4(2)(-6)}$ Simplifica:
$\pm\sqrt{16+48}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4}$
$x = \frac{-4 \pm 8}{4}$
$x = -1 \pm 2$
Obtén las dos soluciones, una es utilizando el signo negativo y otra con el signo positivo:
$x_1=-3$ $x_2=1$
4 Sentido de la concavidad de la función es hacia arriba, ya que el coeficiente del término cuadrático $a>0$
5 Dominio de la función es el conjunto de los números reales (valores que puede tomar la variable independiente $x$) $(-\infty,+\infty)$
6 Rango de la función es el intervalo (valores que puede tomar la variable dependiente $y$) $[-8,+\infty)$

   Fin de la actividad   

A partir de las siguientes funciones, utilizarás las representaciones de la forma general y estándar para obtener los parámetros de la gráfica de la función de segundo grado: los ceros de la función y el vértice de la parábola.

Revisa el siguiente fichero, la primera ficha contiene un ejemplo de cómo calcular los parámetros de la representación gráfica de la función de segundo grado: a partir de la forma general $y=ax^2+bx+c$ (igualándola a cero y utilizando la formula general de la ecuación de segundo grado), puedes calcular los ceros o raíces de la función; mientras que con la forma estándar $y=a(x-h)^2+k$ puedes ubicar el eje de simetría y el punto dónde la función tiene un máximo o un mínimo.

Si requieres repasar como cambiar entre ambas representaciones, consulta: Deducción de la forma estándar a partir de la forma general y Deducción de la forma general a partir de la forma estándar.

Escribir - Parte 2
Trinomio cuadrado perfecto
1. Concavidad de la parábola: hacia arriba
El parámetro del término cuadrático es positivo, por lo que la concavidad es positiva y abrirá hacia arriba.
2. Eje de simetría, a partir de la forma estándar $y=a(x–h)^2+k$ y del punto $C(h,k)$, el eje de simetría se ubica en: $x=h=$ 2

Si obtienes la función estándar.

Desde $C(2,-4)$ El eje de simetría se ubica en $x = h = 2$

3. Punto mínimo de la función $C($ 2, -4$)$

El punto es mínimo porque $a>0$ y se ubica en el punto C de la gráfica.

4. Ceros de la función. A partir de los puntos $A(x_1,0)$ y $B(x_2,0)$ : $x_1 =$ 0 y $X_2=$ $4$

A partir de los puntos $A$ y $B$: $x_1=0$ y $x_2=4$, obtenidos desde los valores de la variable independiente $(x)$ cuando la dependiente $y=0$.

Con base en la función $y=\tfrac{1}{2}x^2-10x+42$. Determina la forma estándar e identifica sus elementos:

1 a) Concavidad de la parábola: Cóncava hacia
2 b) Vértice de la función: Obtener la forma estándar.
3 Función cuadrática en su forma general $y=\tfrac{1}{2}x^2-10x+42$
4 Factorizar el valor común de los términos cuadrático y lineal en $x$ $y=\tfrac{1}{2}(x^2-20x)+42$
5 Completar el trinomio cuadrado perfecto en $x$, sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. $y=\tfrac{1}{2}(x^2-20x+100-$ $100$$)+42$
6 Agrupando el trinomio cuadrado se obtiene. $y=\tfrac{1}{2}(x^2-20x+100)+42-$ $50$
7 Factorizando el trinomio cuadrado perfecto se obtiene. $y=\tfrac{1}{2}(x-$ $10$$^2-8$
8 De la forma estándar se deduce el vértice, el eje de simetría y el rango de la función. Forma estándar
9 El vértice se ubica en: $C=($ $10$, $-8$$)$
10 Dado que el término que multiplica al término cuadrático es positivo el vértice corresponde a un punto… mínimo
11 c) Eje de simetría: $x=h=$ $10$
12 d) Ceros de la función: $x_1=$ $14$ y $x_2=$ $6$
$y=\tfrac{1}{2}(x-$ $10$$)^2-8$

$(x-10)^2=16$

$\sqrt{(x-10)^2}=\sqrt{16}$

$x-10=\pm 4$

$y=\tfrac{1}{2}x^2-10x+42=0$

$a=0.5$, $b=-10$, $c=42$ sustituyendo en la fórmula general:

$x = \frac{ -(-10) \pm \sqrt{ (-10)^2 - 4(0.5)(42) } } { 2(0.5) }$

$x = \frac{ 10 \pm \sqrt{ 100-84 } } { 1 }$

$x = 10 \pm \sqrt{16}$

$x = 10 \pm 4$

$x_1=14$ y $x_2=6$

De la ecuación en forma estándar: $y=\tfrac{1}{2}(x-\color{red}{10})^2-8$ El eje de simetría se ubica en $x=h=$ $10$

1) Punto mínimo de la función.

De la forma estándar $y=\tfrac{1}{2}(x-10)^2-8$

se obtiene que $h=0$, $k=-8$

Con base en la función $y = -\tfrac {1}{2}x^2 + 5x - \tfrac{9}{2}$. Determina la forma estándar e identifica sus elementos:

  1. Concavidad de la función.
  2. Coordenadas del vértice.
  3. Eje de simetría.
  4. Ceros de la función.
1 a) Concavidad de la función:

Tiene concavidad hacia abajo

Abre hacia abajo ya que el parámetro que acompaña al término cuadrático es negativo.

2 b) Coordenadas del vértice:

Obtener la forma estándar de la función:

3 Función cuadrática en su forma general $y = -\tfrac {1}{2}x^2 + 5x - \tfrac{9}{2}$
4 Factorizar el valor común de los términos cuadrático y lineal en $x$ $y=-\tfrac{1}{2}(x^2-$ 10 $x) -\tfrac{9}{2}$
5 Completar el trinomio cuadrado perfecto en $x$, sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal. $y=-\tfrac{1}{2}(x^2-10x+25-25) -\tfrac{9}{2}$
6 Agrupando el trinomio cuadrado se obtiene $y=-\tfrac{1}{2}(x^2-10x+$ $25$$) -\tfrac{9}{2} +\tfrac{25}{2}$
7 Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene.

$y=-\tfrac{1}{2}(x-$ $5$$)^2+8$

Forma estándar
8 Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: $V=($ $5$, $8$$)$
9 c) Eje de simetría:

$x=$ $5$

desde la forma estándar de la función:

$x = h = 5$

10 d) Ceros de la función::

Igualar la función a cero y obtener las soluciones de la ecuación:

$x_1=1$ y $x_2=9$

$y=-\tfrac{1}{2}(x-5)^2+8=0$

$-\tfrac{1}{2}(x-5)^2=-8$

$(x-5)^2=16$

$\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{16}$

$x-5=\pm 4$

$y=\tfrac{1}{2}x^2+5x-\tfrac{9}{2}$

Identifica los coeficientes:

$a=-0.5$, $b=5$, $c=-4.5$

sustituye en la fórmula general:

$x=\tfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4(-0.5)(-4.5)} }{2(-0.5))}$

$x=\frac{-5\pm \sqrt{25-9} }{-1)}$

$x=5\pm \sqrt{16}$

$x=5\pm 4$

Finalmente

$x_1=9$

$x_2=1$

A partir de la forma general: $y=ax^2+bx+c$ se obtiene la forma

estándar: $y=a(x-h)^2+k$

Al igualar la función cuadrática se obtienen los ceros de la función, puedes ocupar cualquiera de las dos formas, la que te resulte más simple, aunque se recomienda utilizar la función estándar. el eje de simetría se ubica en $x=h$

el punto máximo o mínimo se ubica en el vértice de la parábola $C(h,k)$

El parámetro a, indica la concavidad de la función:

$a>0$

La concavidad de la función es hacia arriba

La función tiene un mínimo con $x=h$ y $y=k$

El rango de la función es $[k,∞)$

Concavidad
$a<0$

La concavidad de la función es hacia arriba

La función tiene un mínimo con $x=h$ y $y=k$

El rango de la función es $[k,∞)$

Concavidad
Para saber más:
$y=a(x-h)^2+k=0$, es decir, $(x-h)^2=\tfrac{k}{a}$ y al extraer la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación resulta $x-h=\pm\sqrt{-\tfrac{k}{a} }$ por lo que las raíces de la función cuadrática son $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ y $x_2=h-\sqrt{-\tfrac{k}{a}}$. A partir de la forma estándar.

   Fin de la actividad