Problemas de aplicación

Geogebra

La trayectoria de una flecha lanzada con un arco a una altura de 1.68 m puede ser representada por la función cuadrática $y=-0.03x^2 + 0.3x + 1.68$ ,donde $x$ es la distancia horizontal recorrida que varía desde cero hasta que cae, $y$ representa la altura, tanto distancia como altura están en metros.

¿Qué tan lejos y alto llegará la flecha?

El lanzamiento termina cuando la flecha lanzada cae al suelo.

Problema El Arquero

El recurso Geogebra te permitirá la exploración y visualización de la trayectoria del lanzamiento de la flecha.

Ejercicio de escritura

Ahora que ya revisaste el recurso, contesta las siguientes preguntas:

Altura de la flecha al inicio del movimiento:
1.68 m
Altura cuando llega al suelo:
0 m
Altura máxima de la trayectoria:
2.43 m
Determina el alcance de la flecha:
14 m

Retroalimentación: 1

$y$ $=-0.03x^2 + 0.3x + 1.68$

$y({\color{Red} 0})$ $=-0.03({\color{Red} 0})^2 + 0.3({\color{Red} 0}) + 1.68$

$={\color{Gray} 0+0+}1.68$

$=1.68$

Retroalimentación: 3

Con base en la función cuadrática en su forma estándar $y=-0.03(x-5)^2+2.43$, la altura es $k=2.43$

Retroalimentación: 4

1	La posición de la flecha está dada por la función cuadrática en su forma estándar:	$y=-0.03(x-5)^2+2.43$
2	para que la flecha llegue al suelo se requiera que la altura $y=0$, por lo que se obtiene la ecuación:	$-0.03(x-5)^2+2.43=0$
3	Al transponer el termino cuadrático al lado derecho de la ecuación Y dividir los lados de la ecuación por 0.03 resulta:	$2.43=0.03(x-5)^2$ $(x-5)^2=\tfrac{2.43}{0.03}$
4	Simplificando:	$(x-5)^2=81$
5	Al extraer la raíz cuadrada a los lados de la ecuación resulta:	$\sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{81}$
6	se obtiene la ecuación	$x-5=\pm 9$ $x=5 \pm 9$

1	La posición inicial del disparo de la flecha es $(0, 1.68)$. La posición de la flecha está dada por la función:	$y=-0.03x=-0.03x^2+0.30x+1.68$
2	para que la flecha llegue al suelo se requiera que la altura y sea cero, por lo que se obtiene la ecuación:	$-0.03x^2+0.30x+1.68$
3	Utilizando la fórmula general:	$x=\frac { -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$
4	Ubica los parámetros:	$a=-0.03 b=0.3 c=1.68:$
5	Sustituyendo valores:	$x=\frac { -0.3 \pm \sqrt{(0.3)^2-4(-0.03)(1.68)}}{2(-0.03)}$
6	Simplificando	$x=\frac { -0.3 \pm \sqrt{0.09+0.2016}}{-0.06}$ $x=\frac { -0.3 \pm \sqrt{0.2916}}{-0.06}=\frac { -0.3 \pm 0.54}{-0.06}$
7		$x=\frac { -0.3 - 0.54}{-0.06}=\frac { -0.84}{-0.06}$ $x=\frac { -0.3 + 0.54}{-0.06}=\frac { 0.24}{-0.06}$

y al resolverla se determinan las raíces:

$x_1=14$

$x_2=-4$

de éstas, la raíz $x_2=-4$ no tiene sentido en el contexto del problema, por lo que el alcance de la flecha es de $x_2=14$. La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en $x$. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva. La solución, -4, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo.

El lanzamiento de la flecha llega hasta $x = 14m$, ya que cuando llega al suelo $y=0$.

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