Problema - Canalón

A partir de una hoja rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se desea construir un canalón para desaguar la lluvia, para ello, se doblan hacia arriba dos lados de manera que queden perpendiculares a la hoja, ¿cuántas pulgadas se deben doblar para que el canalón tenga capacidad máxima? Considera que la mayor capacidad de desague se obtiene cuando el área tranversal del canalón es máxima.

Geogebra

Geogebra Aspecto geométrico del problema

Ejercicio de checkbox

De los parámetros de la función cuadrática, indica cual nos indicaría la solución del máximo valor del área:

Escucha de nuevo e indica si las oraciones son ciertas o falsas.

Concavidad de la función.

Coordenadas del vértice.

Eje de simetría.

Los ceros de la función.

Dominio de la función.

Rango de la función.

Sea $x$ la longitud de los lados perpendiculares a la hoja luego el ancho de base del canalón es $12-2x$. La capacidad del canalón está dada por la expresión capacidad $c=x(12-2x)$ y será mayor cuando el área de la sección transversal del rectángulo con lados $x$ y $12-2x$, tenga su valor máximo.
Ejercicio de escritura

1. Lo que se quiere obtener es un área transversal máxima:

$c(x)=$ -2$x^2+$12$x$

2. Obteniendo la forma estándar de la función, agrupamos con x para obtener el trinomio cuadrado perfecto.

$c(x)=-2(x^2-$ 6$x)$

3. Completando el trinomio cuadrado perfecto:

$c(x)=-2(x^2-6x+9–$ 9$)$

4. Agrupando el trinomio cuadrado perfecto:

$c(x)=-2(x^2-6x+9)+$ 18

5. Simplificando:

$c(x)=-2(x-$ 3$)^2+$18

6. Punto dónde se ubica el vértice

$($ 3$)$,$($18$)$

7. Valor del área máxima:

18 pulgadas cuadradas

8. Valor del lado asociado a la máxima área:

3 pulgadas cuadradas.

9. Valor de la base:

Base = $-12-2($3$)=$ 6

10. La función de la capacidad del desagüe en dependiendo del lado del canalón es:

$c(x)=-2x^2+12x$

grafica

11. Cuál es valor del área donde se obtiene la máxima capacidad de desagüe

Area=18 pulgadas2

Escribe las respuestas para recibir retroalimentación.
Para obtener la capacidad máxima, se sustituye $x=3$ en $y=12x-2x^2$, por lo que la capacidad máxima es $y=12(3)-2(3)^2=36-18=18$ pulgadas cuadradas.