Deducción de la forma estándar

Deducción de la forma estándar a partir de la forma general

Comúnmente encontrarás funciones expresadas mediante la forma general, para poder graficarlas rápidamente, deberás utilizar la forma estándar.

Ejercicio

Con este ejercicio practicarás el tránsito de la forma general a la estándar mediante ejemplos particulares, para comprender el proceso algebráico en la obtención de la forma estándar

$y=a(x-h)^2+k$

Observa el ejemplo y luego deduce la forma estándar de la función completando el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo

$y=x^2+2x+1$ A partir de la forma general
$y={[\color{blue}{x^2+2x}]}+1$ Agrupar los términos cuadrático e independiente:
$y={[\color{Blue}{x^2+2x+\square}]}+1$ Completar el trinomio cuadrado perfecto
$y={[\color{Blue}{x^2+{\tfrac{2}{2}}2x+\square}]}+1$ Se divide y multiplica el término lineal entre 2

$y={[\color{Blue}{x^2+2(1)x}\color{Green}{+(1)^2}\color{Red}{-(1)^2}]}+1$

$y={[\color{Blue}{x^2+2(1)x}\color{Green}{+1}\color{Red}{-1}]}+1$

 Se suma y se resta el término lineal del trinomio para mantener la igualdad
$y={[\color{Blue}{x^2+2x}\color{Green}{+1}]+1\color{Red}{-1}}$ Reagrupando términos con la intención de que el trinomio cuadrado quede dentro del paréntesis, “lo que sobra” se saca del paréntesis
$y=(x+1)^2$

Continuar la simplificación y se obtiene la forma estándar

Recuerda que el trinomio cuadrado perfecto:

$(x+1)^2=x^2+2x+1$

$y=\color{Blue}{1}(x-\color{Orange}{(-1)})^2\color{Purple}{+0}$

donde $a=1$, $h=-1$, $k=0$

 Expresando la solución con los parámetros $a$, $h$ y $k$.
$y={4x^2+8x-8}$ A partir de la forma general
$y={[\color{blue}{4x^2+8x}]}-8$ Agrupar los términos cuadrático e independiente:
$y=\color{blue}{4}{[\color{blue}{x^2+2x+\square}]}-\color{blue}{8}$ Factorizar el parámetro del término cuadrático $a$
$y=\color{blue}{4}{[\color{blue}{x^2+2x}\color{green}{+1}\color{red}{-1}]-8}$ Completar el trinomio cuadrado perfecto (sumar y restar el término independiente)
$y={\color{Blue}{4[x+}\color{DarkGreen}{1}\color{Blue}{]^2}-8\color{red}{+}\color{Blue}{4}\color{Red}{(-1)}}$ Reagrupando términos con la intención de que el trinomio cuadrado quede dentro del paréntesis, “lo que sobra” se saca del paréntesis,
$y=\color{Blue}{4}[x+$ $1$ $]^2+\color{purple}{-12}$ Simplificar

Recuerda que $y=\color{blue}{a}(x-$ $h$ $)^2+\color{purple}{k}$

Por lo tanto: $h=-1$ y $\color{purple}{k=-12}$

 Expresando la solución con los parámetros $a$, $h$ y $k$.
Escribe las respuestas para recibir retroalimentación.
$y={2x^2+2x+1}$ A partir de la forma general
$y={[\color{blue}{-2x^2+2x}]}+1$ Agrupar los términos cuadrático e independiente:
$y=\color{blue}{-2}{[\color{blue}{x^2-x}]}+1$ Factorizar el parámetro del término cuadrático $a$
$y=-2{[\color{blue}{x^2-x}\color{green}{+(-0.5)^2}\color{red}{-(-0.5)^2}]}+1$ Completar el trinomio cuadrado perfecto
$y={-2[\color{blue}{x^2-x}+\color{blue}{-0.5^2}]+1\color{red}{-(-2)(0.25)}}$ Se divide y multiplica el término lineal entre 2
$y=\color{blue}{-2}[x-$ $-0.5$ $]^2+\color{purple}{1.5}$ Finalmente, se obtiene la forma estándar

Recuerda que $y=\color{blue}{a}(x-$ $h$ $)^2+\color{purple}{k}$

Por lo tanto: $h=-0.5$ y $\color{purple}{k=1.5}$

 Expresando la solución con los parámetros $a$, $h$ y $k$.

Generalización

Geogebra
Geogebra

Revisa el siguiente recurso Geogebra para obterner la forma estándar.