Simetría/máximo o mínimo

Simetría $y$ máximo o mínimo

La gráfica correspondiente a una función de segundo grado $f(x)$ se conoce como parábola, los parámetros $h$ y $k$ de la forma estándar $y=a(x-h)^2+k$ definen un punto especial de la gráfica llamado vértice en el punto $(h,k)$. Para describir las características de la gráfica de la función de segundo grado, nos referiremos en primera instancia a las siguientes definiciones:

Una función es creciente si para dos valores cualesquiera que $x_1$ y $x_2$ de su dominio se cumple que $f(x_2) > f(x_1)$
Una función es decreciente si para dos valores cualesquiera que $x_1$ y $x_2$ de su dominio se cumple que $f(x_2) < f(x_1)$
Simetría (o paridad)

La parábola o gráfica correspondiente a la función de segundo grado es simétrica respecto al eje definido por ${\color {Orange} {x=h} }$. La función tendrá una parte creciente y una decreciente simétricas.

Simetría de la función cuadrática $(a < 0)$

Geogebra
Geogebra

En el recurso Geogebra podrás observar en qué punto cambia de sentido la gráfica de decreciente a creciente y así establecerás la simetría de la función cuadrática para obtener la tabulación y la forma de la gráfica.

Simetría de la función cuadrática $(a > 0)$

Geogebra
Geogebra

En el recurso Geogebra podrás observar en qué punto cambia de sentido la gráica de decreciente a creciente y así establecerás la simetría de la función cuadrática para obtener la tabulación y la forma de la gráfica.

Vértice, máximos y mínimos

El vértice se encuentra ubicado en su eje de simetría, por lo tanto el cambio de sentido de la gráfica. A partir de la forma estándar $f(x)=a(x-h)^2+k$, se ubicará en $(x=h)$.

Dado que el término $(x-h)^2$ es una cantidad elevada al cuadrado, se cumplirá, para todos los casos que $(x-h)^2$ será positivo; al multiplicarlo por a se obtendrá un resultado de gráfica que puede quedar considerado en las siguientes situaciones:

  • Si $a$ es positivo: $a(x-h)^2 \geq 0$.

Al añadir $k$ para los lados izquierdo y derecho de la desigualdad: $$a(x-h)^2+k \geq k$$

Se tendrá que $f(x) \geq k$, ya que $f(x)=a(x-h)^2+k$ y por lo tanto el punto $(h,k)$ es un valor mínimo.

  • Si $a$ es positivo: $a(x-h)^2 \leq 0$.

Al añadir $k$ para los lados izquierdo y derecho de la desigualdad: $$a(x-h)^2+k \leq k$$

Se tendrá que $f(x) \leq k$, ya que $f(x)=a(x-h)^2+k$ y por lo tanto el punto $(h,k)$ es un valor máximo.

El punto $(h,k)$ representa un punto mínimo cuando es a positivo y un punto máximo cuando es a negativa. Este punto se llama el vértice de la gráfica de $f(x)$.

Escribir

Para que practiques la identificación de la concavidad de funciones de segundo grado, completa los siguientes ejercicios identificando el punto donde se encuentra el vértice (valor máximo o mínimo).

1 $y=-2(x+5)^2+4$ Máximo en $(–5, 4)$ $a = 2$, $h=–5$, $k=4$
2 $y=2(x-1)^2$ en ,
3 $y=-9(x+8)^2-2$ en ,
4 $y=-x(x-6)^2$ en ,
5 $y=2(x-1)^2+2$ en ,
6 $y=5(x-2)^2-3$ en ,
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