Simetría/máximo o mínimo

Simetría y máximo o mínimo

La gráfica correspondiente a una función de segundo grado f(x) se conoce como parábola, los parámetros h y k de la forma estándar y=a(x−h)2+k definen un punto especial de la gráfica llamado vértice en el punto (h,k). Para describir las características de la gráfica de la función de segundo grado, nos referiremos en primera instancia a las siguientes definiciones:

Una función es creciente si para dos valores cualesquiera que x1 y x2 de su dominio se cumple que f(x2)>f(x1)
Una función es decreciente si para dos valores cualesquiera que x1 y x2 de su dominio se cumple que f(x2)<f(x1)
Simetría (o paridad)

La parábola o gráfica correspondiente a la función de segundo grado es simétrica respecto al eje definido por x=h. La función tendrá una parte creciente y una decreciente simétricas.

Simetría de la función cuadrática (a<0)

Geogebra
Geogebra

En el recurso Geogebra podrás observar en qué punto cambia de sentido la gráfica de decreciente a creciente y así establecerás la simetría de la función cuadrática para obtener la tabulación y la forma de la gráfica.

Simetría de la función cuadrática (a>0)

Geogebra
Geogebra

En el recurso Geogebra podrás observar en qué punto cambia de sentido la gráica de decreciente a creciente y así establecerás la simetría de la función cuadrática para obtener la tabulación y la forma de la gráfica.

Vértice, máximos y mínimos

El vértice se encuentra ubicado en su eje de simetría, por lo tanto el cambio de sentido de la gráfica. A partir de la forma estándar f(x)=a(x−h)2+k, se ubicará en (x=h).

Dado que el término (x−h)2 es una cantidad elevada al cuadrado, se cumplirá, para todos los casos que (x−h)2 será positivo; al multiplicarlo por a se obtendrá un resultado de gráfica que puede quedar considerado en las siguientes situaciones:

  • Si a es positivo: a(x−h)2≥0.

Al añadir k para los lados izquierdo y derecho de la desigualdad: a(x−h)2+k≥k

Se tendrá que f(x)≥k, ya que f(x)=a(x−h)2+k y por lo tanto el punto (h,k) es un valor mínimo.

  • Si a es positivo: a(x−h)2≤0.

Al añadir k para los lados izquierdo y derecho de la desigualdad: a(x−h)2+k≤k

Se tendrá que f(x)≤k, ya que f(x)=a(x−h)2+k y por lo tanto el punto (h,k) es un valor máximo.

El punto (h,k) representa un punto mínimo cuando es a positivo y un punto máximo cuando es a negativa. Este punto se llama el vértice de la gráfica de f(x).

Escribir

Para que practiques la identificación de la concavidad de funciones de segundo grado, completa los siguientes ejercicios identificando el punto donde se encuentra el vértice (valor máximo o mínimo).

1 y=−2(x+5)2+4 Máximo en (–5,4) a=2, h=–5, k=4
2 y=2(x−1)2 en ,
3 y=−9(x+8)2−2 en ,
4 y=−x(x−6)2 en ,
5 y=2(x−1)2+2 en ,
6 y=5(x−2)2−3 en ,
Video

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