Ceros de la función cuadrática

La fórmula general de segundo grado es una función que tiene la forma:

$y=ax^2+bx+c$

Donde:

  • $x$ es la variable independiente.
  • $y$ es la variable dependiente (de $x$).
  • $f$ representa función o regla que relaciona a la variable independiente para calcular la variable dependiente. Debe cumplirse que para todo valor de la variable independiente sólo exista un valor de la misma.
  • El coeficiente $a$ se conoce como parámetro cuadrático, ya que multiplica la variable independiente elevada a la segunda potencia o “al cuadrado”. Para que una función pueda considerarse “cuadrática” el orden (valor máximo de la potencia asociada a la variable independiente) debe ser 2 y debe cumplirse que $a≠0$.
  • El coeficiente $b$ se conoce como parámetro lineal, ya que multiplica la variable independiente elevada a la primera potencia (no se expresa explícitamente el exponente cuando es igual a 1).
  • El coeficiente $c$ se conoce como parámetro independiente, ya que NO multiplica la variable independiente.
Ceros de la función cuadrática

Esta forma, nos permite obtener los puntos de intersección de la gráfica con un valor dado de la variable dependiente (en este caso es y), y usualmente se iguala a cero. A través de la fórmula general de la función de segundo grado, puedes saber si se intersectará en uno, dos o ningún valor del eje resolviendo la ecuación general de segundo grado. Sin embargo, en este punto no es posible conocer con exactitud la forma de la gráfica correspondiente a la función.

Ceros de la función

Los puntos en donde una función polinomial cruza al eje del término independiente $(x)$ representa los denominados ceros de la función $f(x)=0$ , y que tales ceros representen las raíces de la ecuación polinomial que se obtiene al hacer $f(x)=0$. En esta definición, la función de segundo grado evaluada en $f(x)=0$ correspondería a la solución de la ecuación de segundo grado.

La obtención de los ceros de una función

Geogebra

A continuación revisarás un recurso para que determines los ceros de una función cuadrática, mediante la fórmula general de segundo grado para resolver ecuaciones cuadráticas y que comprendas si la función tiene raíces reales o imaginarias.

Geogebra

En el recurso Geogebra podrás introducir los datos de la forma general $y = ax^2 + bx + c$. Este recurso te permite calcular el discriminante cuando igualas la función con cero (ecuación general de segundo grado) para obtener los ceros o raíces de la función, es decir, cuando intersecta al eje X. El recurso te permite calcular las soluciones de la ecuación general de segundo grado, observa la forma de la gráfica dependiendo de los parámetros de la función.

Ejercicio

Luego de haber revisado el recurso GeoGebra, obtén los ceros de las siguientes funciones. Al terminar da clic en Verificar para que compares tus respuestas:

$y=-2x^2-30x-46$ -6.41 -3.59 El discriminante es positivo, tiene dos raíces (o ceros) distintas: -6.41 y -3.59
$y=2(x-1)^2$
1
1
El discriminante es igual a cero, tiene dos raíces (o ceros) iguales: 1
Recuerda resolver el trinomio cuadrado perfecto para obtener la forma general, la función queda como $y=2x^2-4x-2$
$y=-3(x+8)^2+108$
-14
-2
El discriminante es positivo, tiene dos raíces o ceros: –14 y –2
Recuerda resolver el trinomio cuadrado perfecto para obtener la forma general, la función queda como $y=-3x^2-48x-84$
$y=-x^2+12x-36$
6
6
El discriminante es cero, tiene dos raíces (o ceros) iguales: 6
$y=2(x-1)^2+2$
1+i
1-i
El discriminante es negativo, tiene dos raíces (o ceros) complejas: 1+i y 1-i
Recuerda resolver el trinomio cuadrado perfecto para obtener la forma general, la función queda como $y=2x^2-4x+4$
Debes escribir tu respuesta para recibir retroalimentación.
Ejercicio

Contesta las siguientes preguntas a partir de tus observaciones y da clic en Verificar para revisar tus respuestas:

Si el discriminante es negativo, ¿cuántas raíces o ceros reales distintos tiene la función?
0
Si el discriminante es igual a cero, ¿cuantas raíces o ceros reales distintos tiene la función?
1
Si el discriminante es positivo, ¿cuántas raíces o ceros reales distintos tiene la función?
2
¿Sólo las con a>0 pueden tener una o dos soluciones?
Falso: las funciones que abren hacia arriba o hacia abajo pueden intersectar el eje de las X.

Para repasar la ecuación de segundo grado puedes consultar los materiales de Solución por trinomio cuadrado perfecto y Fórmula general de la ecuación de segundo grado.

Función Polinominal

Es una función donde la variable independiente tiene la forma:

$y=f(x)=\sum_{i=0}^{n} C_i x^i=C_0x^{0}+C_1x^{1}+C_2x^{2}+C_3x^{3}+...C_nx^{n}$

Dónde:

$n$ es el orden de la función polinomial, $x$ es la variable independiente, $y$ es la variable dependiente, $C_i$ con constantes, $xî$ es la variable independiente elevada a la iésima potencia, $i$ y $n$ son enteros.