Bosquejo histórico

Geometría empírica

Escritura basada en símbolos cuneiformes
Escritura basada en símbolos cuneiformes

La geometría empírica es la que surge de la experiencia, por la necesidad de realizar cálculos para resolver problemas muy específicos, como son la medición de áreas, de volúmenes y distancias, sin pretender obtener fórmulas generales ni justificación teórica. El razonamiento empírico se puede describir como la formulación de las conclusiones que se basan en la experiencia y en la observación principalmente, no contiene elementos formales ni razonamiento lógico preciso.

El razonamiento empírico puede contener procedimientos complicados en casos especiales, la observación de coincidencias y el empleo de la analogía, gran cantidad de experimentación y algo de intuición.

Estas son las características de la geometría prehelénica (griega), como son las geometrías babilónica y egipcia.

Geometría babilonica

Los Babilonios tuvieron su asentamiento en Mesopotamia, en las tierras fértiles situadas entre los ríos Tigris y Éufrates (Mesopotamia significa “entre ríos), actualmente es una región de Irak, hacia finales del milenio IV antes de Cristo. Desarrollaron una escritura abstracta basada en símbolos cuneiformes, escritos en tablas de arcilla cocidas.

Muchas de estas tablillas han llegado hasta nuestros días y por ello se ha podido conocer mucho de las matemáticas babilónicas.

Cerca de 300 tablillas se encuentran relacionadas con problemas matemáticos, como en operaciones de cuentas de diario y contratos de préstamos tanto de interés simple como compuesto, entre otros. Tenían conocimientos de geometría como el teorema de Pitágoras y propiedades de los triángulos semejantes, así como en aspectos algebraicos de ecuaciones de segundo a cuarto grados y sistemas de ecuaciones.

Los Babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, como se hace en nuestros días.

Mesopotamia
Mesopotamia, entre los ríos Tigris y Éufrates, es una zona de tierras inundables

A continuación se presentan tablillas de la época del imperio Babilónico Antiguo entre 1900 a 1600 a. C. que demuestran que los babilonios tenían conocimiento del Teorema de Pitágoras, como se ve en el siguiente fichero.

Tablilla de Susa

Tablilla de Susa
Donde se muestra cómo calcular el radio de un círculo trazado por los vértices de un triángulo isósceles de lados 50, 50 y 60.

Tablilla de Yale

Tablilla de Yale (YBC 7289) es parte de la “Yale Babilonian Collection”.

En ésta tablilla se muestra un cuadrado con las diagonales dibujadas y números grabados, con el equivalente al número 30 escrito cerca de uno de los lados y cerca del centro dos números que equivalen a $1.414212963$ (que es una buena aproximación a $\sqrt{2}=1.41423562...$

Si se multiplica $30$ por $1.414212963$ el resultado es el otro número que aparece en la tablilla $42.42638889$, por lo que el contenido de la tablilla es para calcular la diagonal de un cuadrado de lado 30. Esto coincide bastante bien con el resultado obtenido con el teorema de Pitágoras que conocemos $42.42640686…$, como se observa a la derecha.

Tablilla de Yale

Con el teorema de Pitágoras que conocemos:

$H^2=30^2+{\color{Red}{[30]}}^2$

$H^2=(30^2) {\color{Red}{[2]}}$

$\sqrt{H^2}=\sqrt{(30^2)2}$

$H=\sqrt{(30^2)}\sqrt{2}$

$H={\color{Red}{[30]}}(1.41423562$

$H={\color{red}[42.42640686]...}$

Tablilla que se conoce como Plimpton 322 es quizá la más importante, es parte de la colección de la Universidad de Columbia, en Nueva York. Muestra números colocados en quince filas y cuatro columnas.

Proviene de Larsa y la compró G. Plimpton en 1922, fue donada por él a la Universidad de Columbia en los años 30. La tablilla es una lista de ternas pitagóricas.

Tablilla de Plimpton

Una terna pitagórica es una terna de números naturales $(a, b, c)$ que cumplen la condición:

$a^2+b^2=c^2$, por ejemplo $6^2+8^2=10^2$, ya que $30+{\color{Red}{64}}=100$

Una forma de obtener ternas pitagóricas es la siguiente:
Si $k$ un número entero positivo mayor que $1$ entonces $a=2k, b=k^2+1, c=k^2+1$

Por ejemplo: si $k=2$, entonces $a=2(2)={\color{Red}{4}}$, $b=(2)^2-1={\color{Red}{3}}$, $c=(2)^2+1={\color{Red}{5}}$.

Por lo que se obtiene la terna pitagórica: $4^2+{\color{Red}{3}}^2=5^2$

Tablilla de Tell Dhibayi

Tablilla de Tell Dhibayi
Se descubrió en los años 60 cerca de Bagdad (Irak), donde se muestra cómo se obtienen los lados de un rectángulo a partir de su área y la medida de su diagonal.

Una traducción de una tablilla babilónica, que se preserva en el Museo Británico dice lo siguiente:

"$4$ es la largura y $5$ la diagonal. ¿Qué es la anchura? Su tamaño no es conocido. $4$ veces $4$ es $16$. $5$ veces $5$ es $25$. Si se toma $16$ de $25$ queda $9$. ¿Cuántas veces tomaré en orden a 9? 3 veces 3 es 9. 3 es la anchura"

Este problema de los Babilonios se basa en el teorema de Pitágoras para el triángulo de la izquierda:

$5^2=3^2+4^2$

$5^2-{\color{Red}{4}}^2=3^2$

${\color{Red}{25}}-16=9$

${\color{Red}{9}}=9$

Tablilla babilónica