La integral indefinida (antiderivada) de la función $f(x)$ es la familia de funciones $F(x)+C$, llamada solución general, tal que ${F}'(x)=f(x)$. En muchas aplicaciones de integración, se proporciona suficiente información (condiciones iniciales) para determinar una solución particular. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de la integración para obtener ambas soluciones.
Ejemplo 1. Obtengamos la integral indefinida de la función $f(x)=3x^2-3$ que pase por el punto $P(2,4)$.
El recurso GeoGebra Condición inicial te permitirá el análisis entre la solución general y particular en concordancia con la condición inicial y la obtención de la solución particular de manera gráfica y que será validada con la aplicación de la integral indefinida.
Con base en tu interacción con el recurso GeoGebra, elige la función que cumple con las condiciones iniciales:
Ejemplo 2. Se lanza una bola hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo desde una altura inicial de 80 pies, como se muestra en la figura. Realiza lo que se pide:
a) Obtén la función de posición que da la altura s en función del tiempo t .
b) ¿Cuál es la velocidad de la bola al impactarse con el suelo?
Para la solución del inciso a), se aplica la integración a la aceleración de la gravedad $g(t)=-32\ \frac{pies}{s^{2}}$, a partir de ésta se obtiene la función velocidad y de ésta la función posición, tal como, se presenta a continuación:
Solución general de la función velocidad $v(t)=\int -32dt=-32t + C$
Condición inicial para la función velocidad $t=0$ $v(0)=64\ \frac{pies}{s}$
Solución particular de la función velocidad
$v(0)=-32(0) +C=64$, $C=64$
$\mathbf{v(t)=-32t+64}$
Con base en la solución particular de la función velocidad se obtiene la solución general de la función posición y después la solución particular considerando la condición inicial.
Solución general de la función posición $s(t)=\int (-32t+64) dt=-16t^2+64t+C$
Condición inicial para la función posición $t=0$ $s(0)=80\ pies$
$s(0)=-16(0)^2+64(0)+C=80,C=80$
Solución particular de la función posición $s(t)=-16t^2+64t+80$
Para la solución del inciso b), se obtiene el tiempo que tarda la bola al chocar con el suelo y después se sustituye en la función velocidad, tal como, se muestra a continuación:
$s(t)=-16t^2+64t+80=0$ $s(t)=t^2-4t-5=(t-5)(t+1)=0$
$t-5=0, t=5$
$t+1=0, t=-1$ no se considera por no tener sentido en el contexto del problema, por lo que la velocidad de la bola al impactarse con el suelo es:
$v(5)=-32(5)+64=-160+64=-96\ \frac{pies}{s}$
Con base en los ejemplos presentados se concluye que tomando en cuenta las condiciones iniciales del problema, se obtiene la solución particular a partir de la solución general. Los procedimientos utilizados serán aplicados en el apartado Actividad final.