Métodos de integración

Las reglas básicas de integración nos permitieron la obtención de integrales inmediatas de funciones algebraicas y trascendentes elementales, sin embargo, son insuficientes para la integración de otras funciones más complicadas, por ejemplo, las integrales $\int (x^2-6)^9 2x\ dx$, $\int \sqrt{x^3+7} (3x^2 )dx$, $\int e^{x^2} 2x\ dx$ no podemos determinarlas con las reglas básicas ya estudiadas, puesto que requieren un cambio de variable para convertirlas en integrales inmediatas, tal como se muestra a continuación.

En el cálculo de la integral ∫$\int (x^2-6)^9 2x\ dx$, realizamos el cambio de variable de $x$ por $u$ como se indica $u=x^2-6$, cuya diferencial es $du=2x\ dx$, escribiendo la integral en términos de la variable $u$ resulta $\int u^9 du$ y aplicando la regla de la integración de la función potencia $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C$, se obtiene la antiderivada general $\int u^9 du=\frac{u^{10}}{10}+C$ y reescribiéndola en términos de la variable $x$ resulta que $\int (x^2-6)^9 2x\ dx=\frac{(x^2-6)^{10}}{10}+C$. Para comprobar que la antiderivada corresponde a la integral de la función, su derivada debe ser igual al integrando. En efecto, al aplicar la regla de cadena a la antiderivada de la función $\frac{(x^2-6)^{10}}{10}+C$, se tiene $\frac{d}{dx}\left [\frac{(x^2-6)^{10}}{10} \right ]+C]=\frac{10(x^2-6)^{9}2x}{10}=(x^2-6)^9 2x$, la cual, corresponde al integrando de la función.

De manera similar para obtener la integral $\int \sqrt{x^3+7} (3x^2 )dx$ hacemos el cambio de la variable $x$ por $u$ considerando $u=x^3+7$, cuya diferencial es $du=3x^2 dx$, en consecuencia, escribiendo la integral en términos de $u$ resulta $\int \sqrt{u}\ du=\int u^{\frac{1}{2}}du$ y nuevamente aplicando la integral de la función potencia se obtiene la antiderivada general $\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$ que al regresarla en términos de $x$ se concluye que $\int \sqrt{x^3+7}(3x^2 )dx=\frac{2}{3}(x^3+7)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{(x^3+7)^3}+C$. Asimismo, para comprobar que la antiderivada corresponde al integrando de la integral $\int \sqrt{x^3+7}(3x^2 )dx$, su derivada debe ser igual a éste. En efecto, al aplicar la regla de cadena a la antiderivada $\frac{2}{3}(x^3+7)^{\frac{3}{2}}+C$, se obtiene $\frac{d}{dx}\left [\frac{2}{3}(x^3+7)^{\frac{3}{2}}+C \right ]=\frac{2}{3}\left [\frac{3}{2}(x^3+7)^{\frac{1}{2}}(3x^2) \right ] =\sqrt{x^3+7}\ (3x^2)$, la cual, corresponde al integrando de la función.

En la obtención de la integral $\int e^{x^{2}} 2x\ dx$, se procede como en las dos anteriores considerando $u=x^2$, cuya diferencial es $du=2xdx$, en consecuencia, la integral en términos de $u$ es $\int e^u du$ y al aplicarle la regla de la integración de la función exponencial $\int e^u du = e^u+C$ resulta la antiderivada general $\int e^u du=e^u+C$ que al regresarla en términos de la variable $x$ se obtiene $\int e^{x^2} 2x\ dx= e^{x^2}+C$. Nuevamente, para comprobar que la antiderivada corresponde a la integral de la función original, su derivada debe ser igual a ésta. En efecto, al aplicar la regla de la cadena a la antiderivada $e^{x^2}+C$, se obtiene $\frac{d}{dx}\left [ e^{x^2}+C \right ]=e^{x^2}(2x)$, la cual, corresponde al integrando de la función.

Al observar las integrales notamos que el integrando es el producto de la composición de funciones $f(g(x))$ y la derivada de la función $g(x)$, $g'(x)$. Esto lo consideramos como un método general para calcular la integral indefinida para este tipo de funciones $\int f(g(x))g'(x) dx$, el cual, lo especificamos de manera formal con el siguiente teorema:

Si ${F}'=f$ entonces $\int F'(g(x))g'(x)=F(g(x))+C$

Demostración:

Por la regla de la cadena sabemos $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)$, al integrar las dos expresiones de la igualdad, obtenemos $\int \frac{d}{dx} F(g(x))=\int F'(g(x))g'(x)$ y al considerar que la derivación y la integración son dos operaciones inversas, resulta $\int F'(g(x))g'(x) dx = F(g(x))+C$, lo cual demuestra el teorema.

Ahora considerando el cambio de variable $u=g(x)$ y su diferencial $du=g'(x)dx$. Al sustituirlas en la integral de la regla de la cadena queda expresada en la forma $\int F'(g(x))g'(x)dx=\int F'(u)du=F(u)+C$.

La obtención de integrales con el método de cambio de variable puede resultar complicado al principio, sin embargo, siguiendo las indicaciones propuestas aunadas a la práctica, habilidad y destrezas que tengas te permitirá, avanzar poco a poco en su comprensión y aplicación. Las indicaciones para la obtención de integrales con el método de cambio de variable son las siguientes:

1. Elige un cambio de variable $u=g(x)$, de preferencia eligiendo la parte interna de la función compuesta.
2. Obtén la diferencial de $u$, es decir, $du = g'(x) dx$.
3. Reescribe la integral en términos de la variable $u$.
4. Determina la integral en términos de $u$.
5. Sustituye $u$ por $g(x)$ para la obtención de la antiderivada en términos de $x$.

Ejemplos. Aplica el método de cambio de variable para determinar la integral de las siguientes funciones:

a) $\int 5x\sqrt[3]{1-x^{2}}\ dx$

1. Cambio de la variable $x$ por la variable $u=g(x)=1-x^2$
2. La diferencial de $u$ es, $du=g'(x)=-2x\ dx$
   
   $du = -2x\ dx$, $-\frac{du}{2} = x\ dx$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int 5x\sqrt[3]{1-x^2}\ dx=-\frac{5}{2}\int \sqrt[3]{1-x^2} (2x\ dx)$
4. La Integral en términos de $u$, $-\frac{5}{2}\int u^{\frac{1}{3}}du = -\frac{5}{2}\left [ \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right ]+C = -\frac{15}{8}u^{\frac{4}{3}}+C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $x$, $\int 5x\sqrt[3]{1-x^2}\ dx =-\frac{15}{8}(1-x^2 )^{\frac{4}{3}}+C$

b) $\int x (4x^2+3)^3 dx$

1. Cambio de la variable $x$ por la variable $u=g(x)=4x^2+3$
2. La diferencial de $u$ es, $du=g'(x) dx=8x\ dx$
   
   $du = 8x\ dx$, $\frac{du}{8} = x\ dx$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int (4x^2+3)^3 x\ dx=\frac{1}{8}\int (4x^2+3)^3 8x\ dx$
4. Escribiendo la integral en términos de $u$, $\frac{1}{8}\int u^{3} du = \frac{1}{8}\left (\frac{u^{4}}{4} \right)+C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $x$,
   
   $\int x (4x^2+3)^3 dx = \frac{1}{8}\left [ \frac{(4x^2+3)^{4}}{4} \right ]+C =\frac{(4x^2+3)^{4}}{32}+C$

c) $\int \frac{3x-x^3}{x^4-6x^2+5} dx=$

1. Cambio de la variable $x$ por la variable $u=g(x)=x^4-6x^2+5$
2. La diferencial de $u$ es, $du=g'(x) dx = (4x^3-12x) dx = -4(3x-x^3 ) dx$
   
   $du = -4(3x-x^3 ) dx$, $-\frac{du}{4} = (3x-x^3 ) dx$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int \frac{3x-x^3}{x^4-6x^2+5} dx=-\frac{1}{4} \int \frac{4(3x-x^3)dx}{x^4-6x^2+5}$
4. Escribiendo la integral en términos de $u$ es, $-\frac{1}{4} \int \frac{du}{u} = -\frac{1}{4} ln\ u + C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $x$, $\int \frac{3x-x^3}{x^4-6x^2+5}\ dx=-\frac{1}{4} ln(x^4-6x^2+5)+C$

d) $\int 6x sec^2 (3x^2-1) dx$

1. Cambio de la variable $x$ por la variable $u=g(x)=3x^2-1$
2. La diferencial de $u$ es, $du=g'(x) dx = 6x\ dx$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int sec^2 (3x^2-1) 6x\ dx$
4. Escribiendo la integral en términos de $u$ es, $\int sec^2 u\ du= tan u + C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $x$, $\int 6x sec^2 (3x^2-1) dx = tan (3x^2-1)+C$

e) $\int t\ sen t^2 dt =$

1. Cambio de la variable $t$ por la variable $u=g(t)=t^2$
2. La diferencial de $u$ es, $du=g'(t) dt = 2t\ dt$, $\frac{du}{2} = t\ dt$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int t\ sen t^2 dt = \frac{1}{2}\int sent^2 (2t\ dt)$
4. Escribiendo la integral en términos de $u$, $\frac{1}{2}\int sen u\ du= -\frac{1}{2} cos u + C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $t$, $\frac{1}{2}\int sen u\ du =-\frac{1}{2} cos t^2+C$

f) $\int cos x\ e^{sen x} dx =$

1. Cambio de la variable $x$ por la variable $u=g(x)=sen x$
2. La diferencial de $u$, $du=g'(x) dx = cos x\ dx$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int cos x\ e^{sen x} dx=\int e^{sen x} cos x\ dx$
4. Escribiendo la integral en términos de $u$, $\int e^u du= e^u + C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $x$, $\int e^u du =e^{sen x}+ C$

g) $\int sec 3t\ tan 3t\ dt = $

1. Cambio de la variable $t$ por la variable $u=g(t)=3t$
2. La diferencial de $u$ es, $du=g'(t) dt = 3 dt$, $\frac{du}{3} = dt$
3. Transformación a una integral inmediata, $\int sen 3t\ tan 3t\ dt = \frac{1}{3}\int sen 3t\ tan 3t\ dt$
4. Escribiendo la integral en términos de $u$, $\frac{1}{3}\int sec u\ tan u\ du= \frac{1}{3} sec u + C$
5. Al sustituir $u$ por $g$ se obtiene la integral en términos de $t$, $\frac{1}{3}sec 3t+ C$

Con base en los ejemplos presentados en la obtención de integrales con el método de cambio de variable, pudiste apreciar que se realizó un cambio de variable con la finalidad de transformarla a una integral inmediata.

Ahora determina las integrales indefinidas que se especifican en el siguiente ejercicio con el método de cambio de variable para que avances en la comprensión y aplicación del método mencionado.

Integración por cambio de variable

Con este ejercicio, determinarás la integral indefinida de funciones algebraicas y trascendentes que se indican utilizando el método de integración por cambio de variable.