$f(x)=kx^n$
Consideremos la función potencia $f(x)=2x^5$ y determinemos su integral indefinida, para ello, obtengamos una función $F(x)$, tal que $F'(x)=f(x)$. Con base en el aprendizaje que lograste sobre la obtención de la derivada de funciones potencia estarás de acuerdo que la función $F(x)=\frac{1}{3}x^6$ cumple, puesto que su derivada es $F'(x)=2x^5$, es decir, $F'(x)=f(x)$, sin embargo, las funciones $F(x)=\frac{1}{3}x^6+27$, $F(x)=\frac{1}{3}x^6-11$ y $F(x)=\frac{1}{3}x^6+C$, donde $C$ es un número constante también cumplen ya que su derivada es la función $f(x)=2x^5$, luego entonces la integral indefinida es una familia de funciones que difieren en una constante, tal como se ilustra con el recurso GeoGebra.
Revisa e interactua el siguiente recurso GeoGebra Integral de la función potencia.
Con base en tu interacción con el recurso GeoGebra para valores particulares de $n$, $k$ y $C$, observaste que la antiderivada se obtuvo con el producto de $k$ y $x$ elevada al exponente $n+1$ dividido entre el mismo exponente. Por ejemplo, para $k=2$ y $n=3$ se tiene la integral indefinida particular $\int 2x^3=2\int x^3 dx= \frac{1}{2}x^4$, además, al arrastrar la constante $C$ se obtuvieron otras antiderivadas particulares, por ejemplo, $F(x)=\frac{2}{3}x^4-5$, $F(x)=\frac{2}{3}x^4+3$, entre otras.
Con base en la regularidad de las antiderivadas, elige la antiderivada general de la función potencia $f(x)=kx^n$.
Los siguientes ejemplos ilustran su aplicación para la obtención de integrales de este tipo de funciones.
$$\int 3x^5 dx=3\int x^5 dx=\frac{3x^6}{6}+C=\frac{x^6}{2}+C$$
$$\int 15x^{-5} dx =15\int x^{-5} dx =\frac{15x^{-4}}{-4}+C$$
Para que avances en la comprensión de la regla para la integral indefinida de la función potencia, aplica la regla 3 y determina las integrales indefinidas generales especificadas en el siguiente ejercicio.
Integración de funciones potencia
Con este ejercicio, obtendrás la integral de las funciones potencia que se indican utilizando la regla para la integral de las funciones mencionadas.
Arrastra las opciones que se presentan según corresponda. Las respuestas correctas aparecerán en color verde.
| $\int xdx=$ | |
| $\int 2x^2 dx=$ | |
| $\int -3x^3 dx=$ | |
| $\int \frac{5x^{-5}}{4} dx=$ | |
| $\int 7x^{\frac{1}{2}} dx=$ |
Al aplicar la regla para la integral de la función potencia $\int kx^{n} dx =k\int x^n dx= \frac{kx^{n+1}}{n+1}+C$, se obtienen las integrales solicitadas.
- $\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C$
- $\int 2x^{2} dx=2\int x^2 dx=\frac{2x^{3}}{3}+C$
- $\int -3x^{3} dx=-3\int x^3 dx=-\frac{3x^{4}}{4}+C$
- $\int \frac{5x^{-5}}{4} dx=\frac{5}{4}\int x^{-5} dx =\frac{5x^{-4}}{-16}+C$
- $\int 7x^{\frac{1}{2}} dx=7\int x^{\frac{1}{2}} dx=\frac{7x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{14x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$