Integración de la función lineal

Integración de la función lineal $f(x)=mx+b$

Consideremos la función lineal $f(x)=3x+5$ y determinemos una integral indefinida, para ello, calculemos una función $F(x)$, tal que $F'(x)=f(x)$. En concordancia con las habilidades y destrezas que lograste en la derivación de funciones lineales estarás de acuerdo que la función $F(x)=\frac{3}{2}x^2+5x$ cumple, puesto que su derivada es $F'(x)=3x+5$, es decir, $F'(x)=f(x)$, sin embargo, las funciones $F(x)=\frac{3}{2}x^2+5x+10$, $F(x)=\frac{3}{2}x^2+5x-33$ y $F(x)=\frac{3}{2}x^2+5x+C$, donde $C$ es un número constante también cumplen ya que su derivada es la función $f(x)=3x+5$, luego entonces la integral indefinida es una familia de funciones que difieren en una constante, tal como, se ilustra con el recurso GeoGebra.

Geogebra

Revisa e interactua el siguiente recurso GeoGebra Integral de la función lineal.

Integral de la función lineal

Con base en tu interacción con el recurso GeoGebra para valores particulares de $m$, $b$ y $C$, observaste que la antiderivada se obtuvo con el producto de $m$ y el cuadrado de la variable $x$ dividido entre 2 $(\int (7x-5)dx)=7\int x dx-5\int dx=\frac{7}{2} x^2-5x$ (aplicando que la integral indefinida de la suma o diferencia de funciones es igual a la integral de la suma o diferencia de las funciones), además, al arrastrar la constante $C$ se obtuvieron otras antiderivadas particulares, por ejemplo, $F(x)=\frac{7}{2}x^2-5x+4$, $F(x)=\frac{7}{2}x^2-5x-3$, entre otras.

Ejercicio de selección

Ahora con base en la regularidad de las antiderivadas, elige la antiderivada general de la función lineal $f(x)=mx+b$.

Muy bien, has deducido la regla para obtener la antiderivada general de la función lineal, tal como, se presenta a continuación:

Regla 2 | La integral de la función lineal $f(x)=mx+b$ es $$\int (mx+b)dx = \frac{mx^2}{2}+bx + C$$

Para que avances en la comprensión de la regla para la integral indefinida de la función lineal, aplica la regla mencionada y determina las integrales indefinidas especificadas en el siguiente ejercicio.

Integración de funciones lineales

Con este ejercicio, obtendrás la integral indefinida general de las funciones lineales que se indican utilizando la regla 2.

Arrastrar

Arrastra las opciones que se presentan según corresponda. Las respuestas correctas aparecerán en color verde.

$F(x)=\frac{3x^2}{10}+\frac{3x}{4}+C$
$F(x)=-\frac{2x^2}{7}+\frac{3x}{5}+C$
$F(x)=-4x^2-5x+C$
$F(x)=\frac{3x^2}{2}-3x+C$
$F(x)=\frac{x^2}{2}+5x+C$
$\int (x+5)dx=$
$\int (3x-3)dx=$
$\int \left ( \frac{3x}{5}+\frac{3}{4} \right ) dx=$
$\int (-8x-5)dx=$
$\int \left ( \frac{-4x}{7}+\frac{3}{5} \right )dx=$

Al aplicar la regla para la integral de la función lineal $\int (mx+b)dx =\frac{mx^2}{2}+bx+C$, se obtienen las integrales solicitadas.

  • $\int (x+5)dx= \int x dx+5\int dx=\frac{x^2}{2}+5x+C$
  • $\int (3x-3)dx=3\int x dx-3\int dx=\frac{3x^2}{2}-3x+C$
  • $\int \left (\frac{3x}{5}+\frac{3}{4} \right )dx=\frac{3}{5}\int x dx+\frac{3}{4}\int dx=\frac{3}{10}x^2+\frac{3}{4}x+C$
  • $\int (-8x-5)dx=-8\int x dx-5\int dx=-4x^2-5x+C$
  • $\int\left (\frac{-4x}{7}+\frac{3}{5}\right )dx=-\frac{4}{7}\int x dx+\frac{3}{5}\int dx=-\frac{2x^2}{7}+\frac{3x}{5}+C$