Integral indefinida de la suma o diferencia de funciones

En este apartado realizamos la suma o diferencia de las funciones presentadas en la siguiente tabla y busquemos su antiderivada para establecer la regla de la integral indefinida de una suma o diferencia de funciones.

Función Integral
$f(x)=5$ $\int 5dx=5x+C$
$g(x)=3x$ $\int 3xdx=\frac{3}{2}x^2+C$
$h(x)=2x^2$ $\int 2x^2 dx=\frac{2}{3}x^3+C$
Ejercicio de selección

Por ejemplo, sumemos las funciones $f$, $g$ y restemos $h$, es decir, $(f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=5+3x-2x^2$, elige la antiderivada de la integral indefinida $\int (5+3x-2x^2)dx$.

En efecto: $\int (f(x)+g(x)-h(x))dx=\int (5+3x-2x^2)dx=\int 5 dx +\int 3x dx -\int 2x^2 dx = 5x+\frac{3x^{2}}{2}-\frac{2}{3}x^3+C$, como puede observarse la integral de una suma o diferencia de funciones, es igual a la integral de la suma o diferencia de las funciones y se representa con la expresión matemática: $$\int (f(x)+g(x)-h(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx-\int h(x)dx$$ $$\int (5+3x-2x^2 )dx=\int 5dx+\int 3xdx-\int 2x^2 dx=5x+C_1+\frac{3}{2} x^2+C_2-\frac{2}{3} x^3+C_3$$

Considerando $C=C_1+C_2+C_3$, se obtiene la antiderivada de la integral solicitada. $$\int (5+3x-2x^2 )dx=5x+\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3+C$$

En hora buena, has deducido la regla para obtener la integral indefinida general de la suma o diferencia de funciones como la suma o diferencia de sus integrales, tal como, se presenta a continuación:

Regla 4 | La integral de la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de sus integrales $$\int (f(x) \pm g(x)\pm h(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\pm \int h(x)dx$$

Para que avances en la comprensión de la regla para la integral indefinida general de la integral de la suma o diferencia de funciones, aplica la regla 4 y determina las integrales indefinidas generales especificadas en el siguiente ejercicio.

Integración de la suma o diferencia de funciones

Con este ejercicio, obtendrás la integral de la suma o diferencia de funciones que se indican utilizando la regla 4.

Arrastrar

Arrastra la opción que corresponda a la tabla. Las respuestas correctas aparecerán en color verde.

$\frac{1}{15}x^5+\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x^2-6x+C$
$\frac{5}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3+7x+C$
$\int (5x^3-2x^2+7)dx=$
$\int \left ( \frac{1}{3}x^4+\frac{3}{2}x^2-5x-6\right)dx=$

Al aplicar la regla para la integral de la suma o resta de funciones $\int (f(x)\pm g(x)\pm h(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx\pm \int h(x)dx$, se obtienen las integrales solicitadas.

  • $\int (5x^3-2x^2+7)dx=5\int x^3 dx-2\int x^2 dx+7\int dx =\frac{5}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3+7x+C$
  • $\int\left (\frac{1}{3}x^4+\frac{3}{2}x^2-5x-6 \right )dx=\frac{1}{3}\int x^4dx+\frac{3}{2}\int x^2 dx-5\int xdx-6\int dx=\frac{1}{15}x^5+\frac{1}{2}x^3-\frac{5}{2}x^2-6x+C$