En los problemas de caída libre consideramos que cuando un objeto sigue un movimiento ascendente, es decir, se mueve hacia arriba la velocidad es positiva, mientras que la aceleración será negativa ya que el objeto se va frenando, en caso contrario, cuando el objeto sigue un movimiento descendente la velocidad será negativa al igual que la aceleración.
Ejemplos de problemas de aplicación.
El proceso de solución de los problemas, ejemplifican los procedimientos algebraicos para transformar la integral a una integral inmediata y obtener la solución general, así mismo, la aplicación de las condiciones iniciales para determinar la solución particular.
Problema 1
Resolución problema 1
Datos:
$v_i=-27.7\ \frac{m}{s}$ (conversión de $100\ \frac{km}{h}\ = \ 27.7\ \frac{m}{s}$)
$s_0=10\ m$
$g(t)=-9.8\frac{m}{s^2}$
$v(t)=\int -9.8 dt=-9.8 t+C$, solución general.
$v(0)=-9.8(0)+C=-27.77$, por lo que $C=-27.77$ y sustituyéndola en la función velocidad resulta la solución particular:
$v(t)=-9.8 t-27.77$
Para obtener la velocidad del Martin Pesador cuando hace contacto con el agua debemos determinar la función posición y con ésta el tiempo cuando hace contacto con el agua.
$s(t)=\int (-9.8 t - 27.77) dt = -4.9 t^2 - 27.7 t+C$, solución general.
$s(0)=-4.9 (0)^2 + 27.77 (0)+C=10$, por lo que $C=10$ y al sustituirla en la función posición resulta la solución particular.
$s(t)=-4.9 t^2 - 27.7 t + 10$
Para obtener el tiempo cuando Martín Pescador hace contacto con el agua debemos resolver la ecuación $s(t)=0$, es decir,
$s(t)=-4.9 t^2 - 27.77 t + 10=0$
$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{27.77\pm \sqrt{(-27.77)^{2}-4(-4.9)(10)}}{2(-4.9)}=\frac{27.77\pm \sqrt{967.1229}}{-9.8}=\frac{27.77\pm 31.09}{-9.8}$$t_1=-6$, $t_2=0.33$ se toma el tiempo positivo ya que el negativo no tiene sentido en el contexto del problema.
Por lo que la velocidad de Martín Pescador al hacer contacto en el agua es:
$v(0.33)=-9.8 (0.33)-27.77=-31.004\ \frac{m}{s}$
Problema 2
Una primitiva tribu de una pequeña isla del Pacífico Sur, se lanzan al vacío desde un enorme árbol. Se trataba de los Bunlap.
Este ritual, conocido como Nagol (o de N'gol), se ha practicado desde hace siglos; en la actualidad, a comienzos de abril y cuando la cosecha de ñame está ya lista, jóvenes y niños de tan solo 7 años suben a la torre para participar en el ritual desde una plataforma hecha con troncos y unida con lianas hasta una altura de 30 metros. Se supone que hay momentos que viajan a una velocidad de $16\ \frac{m}{s}$ y llegan a 3 metros antes de chocar con el suelo.
- Determina la función de velocidad.
- Obtén la función posición.
- ¿En qué tiempo alcanzan la velocidad de ?
- ¿Qué velocidad llegan al punto final a 3 m antes de topar con el suelo?
Resolución problema 2
Datos:
$g(t)=-9.8\ \frac{m}{s^{2}}$
$s_0=27\ m$
$v(t)=\int -9.8 dt=-9.8t+C$, $v(t)=-9.8t+C$ solución general.
$v_0=v(0)=-9.8(0)+C=0$ condición inicial.
-
$v(t)=-9.8t$ solución particular.
$s(t)=\int -9.8t dt=-4.9t^2+C$ Solución general de la función posición.
$s_0=-4.9(0)^2+C=27$, $C=27$ condición inicial.
- $s(t)=-4.9t^2+27$ Solución particular de la función posición.
-
$v(t)=-9.8t=-16$ Velocidad negativa ya que el movimiento es descendente.
$t=\frac{-16}{-9.8}\ s$ Tiempo para alcanzar una velocidad de .
$-16\ \frac{m}{s}$
-
$s(t)=-4.9t^2+27=3$ La distancia sobre el suelo son 3 metros.
$-4.9t^2=-24$, $t^2=\frac{-24}{-4.9}=4.89\ s$ Despejar el tiempo al cuadrado.
$t_1=-2.21\ s$ $t_2=2.21\ s$ Solución de la ecuación cuadrática, el tiempo negativo no tiene sentido en el contexto del problema.
$v(t)=-9.8(2.21)=-21.658\ \frac{m}{s}$ Velocidad de la persona 3 metros antes del suelo.
Problema 3
Resolución problema 3
Datos:
Aceleración de la gravedad $g(t)=-32\ \frac{pies}{s^{2}}$.
Condiciones iniciales en $t=0\ s$:
$s_0=144\ pies$, velocidad inicial $v_0=96\ \frac{pies}{s}$.
$v(t)=\int -32dt=-32t+C$ solución general de la función velocidad.
$v_0 (0)=-32(0)+C=96\ \frac{pies}{s}$. Condición inicial.
$v(t)=-32t+96$. Solución particular.
$s(t)=\int (-32t+96)dt=-16t^2+96t+C$, solución general de la función posición.
$s_0=s(0)=-16(0)^2+96(0)+C=144$ condición inicial.
$s(t)=-16t^2+96t+144$ solución particular de la función posición.
Para obtener el intervalo de tiempo en que la bola sube, la velocidad debe ser cero.
$v(t)=-32t+96=0$
$-32t+96=0$, $-32t=-96$, $t=3\ s$, la bola sube en el intervalo de tiempo $[0,3]$ segundos.
La bola choca con el suelo cuando $s(t)=0$, es decir,
$-16t^2+96t+144=0$
$-16(t^2-6t-9)=0$
$t^2-6t-9=0$
$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{(-6)^{2}-4(1)(-9)}}{2(1)}=\frac{6\pm \sqrt{72}}{2}$
$t_1=7.24\ s$, $t_2=-1.24\ s$, el tiempo negativo no tiene sentido en el contexto del problema.
Por lo que la bola choca con el suelo en $t_1=7.24\ s$ y la velocidad es $v(7.24)=-32(7.24)+96=-135.68\ \frac{pies}{s}$.
Problema 4
El costo marginal en dólares de una compañía que fabrica zapatos está dado por , donde es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos fijos son $100, determina la función de costo?
La función costo es la integral del costo marginal, por lo que,
$c(x)=\int \frac{x}{1000}\sqrt{x^{2}+2500}\ dx=\frac{1}{1000}\int x\ \sqrt{x^{2}+2500}\ dx$
| Integral | Procedimientos |
|---|---|
| Integración por cambio de variable. | |
| $c(x)=\int \frac{x}{1000}\sqrt{x^{2}+2500}\ dx=\frac{1}{1000}\int x\ \sqrt{x^{2}+2500}\ dx$ | Cambio de variable. |
| $u=x^2+2500$, $du=2x\ dx$ | Transformación a una integral directa. |
| $\frac{1}{1000}\int x\ \sqrt{x^{2}+2500}\ dx=\frac{1}{2000}\int \sqrt{x^{2}+2500}(2x\ dx)\$ | Escribiendo la integral en términos de u. |
| $\frac{1}{2000}\int u^{\frac{1}{2}}du = \frac{1}{2000}\left ( \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right )+C=\frac{1}{3000}u^{\frac{3}{2}}+C$ | Integral en términos de u. |
| $c(x)=\frac{1}{3000}(x^2+2500)^{\frac{3}{2}}+C$ | Reescribiendo la integral en términos de x. |
| $x=0$, $c(0)=100$ | Condición inicial. |
| $c(0)=\frac{1}{3000}((0)^2+2500))^{\frac{3}{2}}+C=100$ | Sustitución condición inicial |
| $\frac{1}{3000}2500^{\frac{3}{2}}+C=100,\frac{125}{3}+C=100$, $C=\frac{175}{3}$ | Determinado el valor de C. |
| $c(x)=\frac{1}{3000}(x^2+2500)^{\frac{3}{2}}+\frac{175}{3}$ | Función costo solicitada. |
Ejercicio. Condiciones iniciales
En la resolución de los problemas presentados se determinaron las soluciones general y particular considerando las condiciones iniciales con la aplicación de la integración.
Con este ejercicio, aplicarás la integral indefinida para que determines las soluciones general y particular del problema considerando las condiciones iniciales.
Considera la integral indefinida en concordancia con las condiciones iniciales para que resuelvas el siguiente problema:
Arrastra los valores al lugar que corresponde en la tabla.
Considera la integral indefinida en concordancia con las condiciones iniciales para que resuelvas el siguiente problema:
Problema. Se lanza una piedra directamente hacia abajo desde una altura de 96 pies con una velocidad inicial de $16\ \frac{pies}{s}$. Determina:
- La velocidad a los segundos.
- La distancia a los segundos.
- El momento en que llegará al suelo. segundos
- La velocidad con la que llega al suelo.
Indicaciones para la resolución del problema:
Obtén la solución general y particular de la función velocidad (considerando la condición inicial de la velocidad) a partir de la aceleración de la gravedad $g(t)=-32\ \frac{pies}{s^{2}}$, luego determina la solución general y particular de la función posición (considerando la condición inicial de la función posición) a partir de la función velocidad, resuelve la ecuación para obtener el tiempo utilizado por la piedra al chocar con el suelo, finalmente sustituye en la función velocidad el tiempo para que calcules la velocidad de la piedra al chocar con el suelo.
El desarrollo de las indicaciones mencionadas para la resolución del problema se te presenta a continuación:
-
${\color{Green} v(t)=\int -32 dt=-32 t+C}$
${\color{Green} v(t)=-32t+C}$ solución general de la función velocidad.
${\color{Green} v_0=-16(0)+C=-16}$ condición inicial.
${\color{Green} v(t)=-32t-16}$ solución particular de la función velocidad.
-
${\color{Green} s(t)=\int (-32t-16)dt=-16t^2-16t+C}$, solución general de la función posición
Condición inicial de la función posición en $t=0$ s, ${\color{Green} s(0)=96}$ pies.
${\color{Green} s(0)=-16(0)^2-16(0)+C = 96}$, $C=96$
${\color{Green} s(t)=-16t^2-16t+96}$ solución particular de la función posición.
-
${\color{Green} {\color{Green} s(t)=-16t^2-16t+96}}$, ${\color{Green} t^2+t-6=0}$, simplificación de la función posición.
${\color{Green} (t+3)(t-2)=0}$, ${\color{Green} t_1=-3}$ y ${\color{Green} t_2=2}$, solución por factorización, el tempo negativo no tiene sentido en el contexto del problema.
- ${\color{Green} v(2)=-32(2)-16=-80\ \frac{pies}{s}}$