Integración por partes

En este apartado se estudia la integración por partes para obtener la integral indefinida de funciones cuyo integrando es el producto de una función por la diferencial de otra, la cual está relacionada con la operación inversa de la diferenciación del producto de las funciones mencionadas, la integración indefinida de éste. Para ello, recordemos que la derivada del producto de las funciones $u$ y $v$, se obtiene con la derivada del producto de éstas, es decir, $\frac{d}{dx}[uv]=u \frac{dv}{dx}+v \frac{du}{dx}=uv'+vu'$, donde $u$ y $v$ son funciones diferenciables de $x$, además, si $u'$ y $v'$ son continuas, entonces al integrar ambos lados de la ecuación se obtiene: $$\int \frac{d}{dx}\left [ uv \right ]=\int \left [ u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx} \right]$$

Ahora como la diferenciación y la integración son operaciones inversas su aplicación a la expresión anterior resulta $uv=\int uv'dx+\int vu'dx=\int u dv+\int v du$ y al despejar $u$ y la diferencial $\int udv$, se tiene:

$$\int u dv=uv -\int v du$$

Llamada la integración por partes, su aplicación depende de la habilidad y destreza en la elección de la función $u$ y de la diferencial $dv$ para obtenerlas se sugieren las siguientes orientaciones:

Intenta elegir $dv$ de modo que sea la parte más complicada del integrando y se ajuste a una fórmula de integración básica; el factor o los factores restantes del integrando será $u$.
Intenta hacer que $u$ sea la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que ésta, los factores restantes del integrando será $dv$.

Ejemplos que ilustran el método de integración por partes en la obtención de integrales indefinidas.

a) $\int x\ e^x dx$

Aplicando la orientación 1

$dv=e^x dx$, puesto que $dv$ es la parte más complicada del integrando, para obtener la función $v$ se integra $dv$, es decir, $v=\int dv=\int e^x dx=e^x$. El factor restante del integrando es $u=x$, cuya diferencial es $du=dx$ y al sustituirlos en la regla de la integración por partes resulta: $$\int u dv = uv- \int v du$$ $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + c$$

Aplicando la orientación 2

Elijamos $u=x$, ya que su diferencial es más simple que $u$, es decir, $du=dx$.

Los factores restantes del integrando son $dv=e^x dx$, para obtener $v$ se integra $dv$, es decir, $v=\int dv=\int e^x dx=e^x$ que al sustituirlas en la regla de la integración por partes resulta: $${\int u dv=uv -\int v du}$$ $$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x+C$$

b) $\int e^x cos x\ dx$, el cálculo de la integral indefinida requiere dos veces la integración por partes.

$u=e^x$ $dv=cos x dx$

$du=e^x dx$ $v=\int cos x\ dx = sen x$

$\int u dv = uv - \int v du$

$\int e^x cos x\ dx = e^x sen x - \color{green}{\int sen x\ e^x dx}$ de nuevo para la integral de color verde consideramos:

$u=e^x$ $dv=sen x\ dx$

$du=e^x dx$ $v=\int sen x\ dx = -cos x$

$\int e^x cos x\ dx = e^x sen x - [-e^x cos x - \int -cos x e^x dx$ integración por partes.

$\int e^x cos x\ dx = e^x sen x +e^x cos x- \color{green}{\int e^x cos x\ dx}$

$\int e^x cos x\ dx +\int e^x cos x\ dx= e^x [sen x + cos x]$, sumando la integral de color verde a los lados de la ecuación.

$2\int e^x cos x\ dx = e^x [sen x + cos x]$, simplificando la ecuación.

$\int e^x cos x\ dx = \frac{e^{x}\left [sen x + cos x \right ]}{2}+C$, despejando se obtiene la integral solicitada.

Con base en los ejemplos presentados para la obtención de integrales con el método de integración por partes, pudiste apreciar que se eligieron la función $u$ y la diferencial $dv$, luego se determinó $du$ y se calculó la integral de $dv$ para obtener la función $v$. Con base en éstas se aplicó la integración por partes para la obtención de las integrales.

Determina las integrales indefinidas del siguiente ejercicio con el método de la integración por partes para que avances en la consolidación en la comprensión y aplicación del método mencionado en la obtención de integrales.