Deducción del Teorema de Thales

En este apartado se explica el teorema de Thales y su demostración formal. Cabe mencionar que a las afirmaciones del teorema se le llama hipótesis , lo que se quiere demostrar se llama tesis y la cadena de razonamientos lógicos sustentados por definiciones, postulados, axiomas y teoremas ya demostrados, se le llama demostración.

Enunciado del teorema de Thales

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos lados en partes proporcionales.

A continuación, escribe en la tabla el número de las afirmaciones o razones, según corresponda para la demostración del teorema mencionado:

Hipótesis del teorema de Thales Tesis del teorema
∆ABC es un triángulo
$\overline{DE}\parallel \overline{AB}$
${\frac{\overline{CD}}{DA}=\frac{\overline{CE}}{EB}}$

1. Teorema. Criterio de semejanza $AAA$

2. ${\frac{\overline{CD}}{CA}=\frac{\overline{CE}}{CB}}$

3. Axioma. Si a cantidades iguales se les resta otras también iguales, los totales son iguales.

Demostración

Afirmaciones Razones
1) $\Delta DEC\sim \Delta ABC$
1. Teorema. Criterio de semejanza AAA.
2)
${\frac{\overline{CD}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CB}}}$
Definición de triángulos semejantes. Lados homólogos de triángulo semejantes son proporcionales. Proporción del ∆DEC al ∆ABC.
3) $\frac{\overline{CA}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{CB}}{\overline{CE}}$ Teorema. En toda proporción se pueden cambiar los antecedentes por sus respectivos consecuentes.
4) $\frac{\overline{CD}+\overline{DA}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{CE}+\overline{EB}}{\overline{CE}}$ Axioma. El todo es la suma de sus partes.
5) $\frac{\overline{CD}}{\overline{CD}}+\frac{\overline{DA}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CE}}+\frac{\overline{EB}}{\overline{CE}}$ Axioma. Toda cantidad puede sustituirse por su igual.
6) $1+\frac{\overline{DA}}{\overline{CD}}=1+\frac{\overline{EB}}{\overline{CE}}$ Axioma. Toda cantidad puede sustituirse por su igual.
7) $\frac{\overline{DA}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{EB}}{\overline{CE}}$
7. Axioma. Si a cantidades iguales se les resta otras también iguales, los totales son iguales.
8) $\frac{\overline{CD}}{\overline{DA}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{EB}}$ Teorema. En toda proporción se pueden cambiar los antecedentes por sus respectivos consecuentes.
Esta es la tesis que se quería demostrar.
Pasos requeridos en la demostración
Afirmaciones Razones
1) $\Delta DEC\sim \Delta ABC$ Teorema. Criterio de semejanza AAA
2) ${\frac{\overline{CD}}{CA}=\frac{\overline{CE}}{CB}}$ Definición de triángulos semejantes. Lados homólogos de triángulo semejantes son proporcionales. Proporción del ∆DEC al ∆ABC.
7) $\frac{\overline{DA}}{\overline{CD}}=\frac{\overline{EB}}{\overline{CE}}$ Axioma. Si a cantidades iguales se les resta otras también iguales, los totales son iguales.

Esta cadena de razonamientos demuestra que toda paralela al tercer lado de un triángulo divide a los otros dos en partes proporcionales.

El teorema de Thales que acabas de demostrar también puede ser enunciado de la siguiente manera, si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales a ellas, entonces las longitudes de los segmentos interceptados entre las rectas paralelas y cada una de las transversales son proporcionales. En la figura $\overleftrightarrow{AD}\parallel \overleftrightarrow{BE}\parallel\overleftrightarrow{CF}$ y las rectas $\overleftrightarrow{AC}$ y $\overleftrightarrow{BF}$ transversales a ellas, lo que afirma el teorema de Thales es que los segmentos interceptados por las rectas transversales en cada una de las paralelas son proporcionales, es decir, $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}$

Ahora se te presentan dos ejemplos de la aplicación del Teorema de Thales

En la figura $\overline{BD}=5.32$cm, $\overline{CD}=4.46$cm, $\overline{DE}\parallel \overline{AB}$ y la longitud de $\overline{AC}=11.65$cm. Obtén la longitud de los segmentos $\overline{AE}$ y $\overline{CE}$.

Como $\overline{DE}\parallel \overline{AB}$ por el teorema de Thales se tiene que $\frac{4.26}{5.32}=\frac{x}{11.65-x}$

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios $4.26(11.65-x)=5.32x$

Al eliminar el paréntesis $49.629-4.26x=5.32x$

Agrupando los términos que contienen a x al lado derecho de la ecuación $49.629=5.32x+4.26x $

Simplificando el lado derecho de la ecuación $49.629=9.58x$

Despejando la variable $x$, $\frac{49.629}{9.58}=x$

Resultado de la división $5.18=x$, por lo que $\overline{CE}=5.18$cm.

Ahora al sustituir $x=5.18$ en $\overline{AE}=11.65-x$ y realizar operaciones se obtiene $\overline{AE}=11.65-x=11.65-5.18=6.47$cm, por lo que $\overline{AE}=6.47$cm.

En la figura las rectas $\overleftrightarrow{BC}\parallel \overleftrightarrow{DE}\parallel\overleftrightarrow{FG}$, las rectas $\overleftrightarrow{AF}$ y $\overleftrightarrow{AG}$ son transversales a éstas, $\overline{BD}=3.67 cm$, $\overline{DF}=4.99 cm$, $\overline{AC}=5.21 cm$ y $\overline{EG}=5.52 cm$. Determina la longitud de los segmentos $a$ y $d$.

Solución. Como las rectas $\overleftrightarrow{BC}\parallel \overleftrightarrow{DE}\parallel\overleftrightarrow{FG}$ y las rectas $\overleftrightarrow{AF}$ y $\overleftrightarrow{AG}$ son transversales a éstas, se aplica el teorema de Thales.

Los segmentos interceptados en las rectas paralelas son proporcionales $\frac{3.67}{4.99}=\frac{d}{5.52}$

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios $4.99d=3.67(5.52)=20.2584$

Al despejar la variable d y realizar la división se obtiene $d=\frac{20.2584}{4.99}=4.05$cm

Los segmentos interceptados en las rectas paralelas son proporcionales $\frac{a}{3.67}=\frac{5.21}{4.05}$

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios $4.05a=3.67(5.21)=19.1207$

Al despejar la variable $a$ y realizar la división se obtiene $a=\frac{19.1207}{4.05}=4.72$cm