Criterios para la semejanza de triángulos

Con base en la definición de semejanza de triángulos debemos comprobar que sus lados homólogos son proporcionales y que sus ángulos homólogos son congruentes, sin embargo, como se estudiará en este apartado no es necesario comprobar que todos sus lados sean proporcionales y que todos sus ángulos sean congruentes, puesto que se tienen criterios con elementos mínimos para la formulación de la semejanza de triángulos.

triangulo

Criterio de semejanza de triángulos LLL

Este criterio considera que, si los lados homólogos de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes y en concordancia con la definición de la semejanza de triángulos, se tiene que justificar de forma empírica que los ángulos homólogos son congruentes, mediante la coincidencia de los ángulos al sobreponer los triángulos y con la medida de sus ángulos. Para ello, explora el recurso siguiente GeoGebra para que identifiques la regularidad que presentan los ángulos homólogos y puedas establecer el criterio de la semejanza de triángulos Lado, Lado, Lado (LLL).

Geogebra

Con base en el recurso GeoGebra justificarás de forma empírica que dos triángulos son semejantes cuando sus lados homólogos son proporcionales para que formules el criterio de semejanza de triángulos lado, lado, lado (LLL).

Revisa el recurso y con base en la interacción que realices contesta las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es el valor de la razón de semejanza de los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$

0.8

b. ¿Cómo son los lados homólogos de los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$

proporcionales

c. ¿Cómo son los ángulos homólogos de los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$

congruentes

d. Como los lados homólogos de los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$ son proporcionales y sus ángulos homólogos son congruentes, ¿Cómo son los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$?

semejantes
  1. La razón de semejanza de los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$ es razon.
  2. La afirmación del criterio es que los lados homólogos de los triángulos son proporcionales.
  3. Con base en el recurso Geogebra se verifica empíricamente que los ángulos homólogos son congruentes.
  4. El $\Delta PQR \sim \Delta ABC$ , puesto que sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos homólogos congruentes.

Formulación del criterio de semejanza de triángulos LLL

Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus lados homólogos. La justificación empírica del criterio consistió en sobreponer los triángulos, ver la coincidencia de sus ángulos homólogos y la proporcionalidad de sus lados homólogos.

Escribe las respuestas para recibir retroalimentación.

Criterio de semejanza de triángulos LAL

Este criterio considera que si dos lados homólogos en dos triángulos son proporcionales y el ángulo comprendido congruente, entonces los triángulos son semejantes y en concordancia con la definición de la semejanza de triángulos, se tiene que justificar de forma empírica que los lados homólogos restantes son proporcionales y el par de ángulos homólogos restantes son congruentes. Para ello, explora el siguiente recurso GeoGebra para que compruebes la proporcionalidad y congruencia de ángulos homólogos mencionados y puedas establecer el criterio de la semejanza de triángulos Lado, Ángulo, Lado (LAL).

Geogebra

Con base en el recurso GeoGebra justificarás en forma empírica que dos triángulos son semejantes cuando dos lados homólogos son proporcionales y el ángulo comprendido es congruente, para que formules el criterio de semejanza de triángulos Lado, Ángulo, Lado (LAL).

Revisa el recurso GeoGebra y sigue las indicaciones que se dan.

En concordancia con los supuestos del criterio de semejanza de triángulos LAL, se sabe que $\frac{\overline{DE}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{AC}}=razon$ , es decir, son proporcionales y $\measuredangle \alpha \cong \measuredangle \delta$. Para demostrar que el $\Delta DEF\sim \Delta ABC$, solo debes comprobar de manera empírica que $\frac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=razon$ y aplica el criterio de semejanza de triángulos LLL.

¿Cuál es el valor de la razón de semejanza de los triángulos $\Delta PQR$ y $\Delta ABC$

Razon
$\frac{\overline{EF}}{\overline{BC}}=\frac{6.2}{4.7}=1.3$

Ahora escribe en el recuadro el criterio de la semejanza que justifica que el $\Delta DEF\sim \Delta ABC$

Criterio de semejanza LLL
Dado que los lados homólogos de los triángulos $\Delta DEF$ y $\Delta ABC$ son proporcionales por el criterio de semejanza de triángulos LLL son semejantes, es decir, $\Delta DEF\sim \Delta ABC$ .

Criterio de semejanza de triángulos AAA

Este criterio considera que cuando se tienen los tres ángulos homólogos congruentes de dos triángulos, entonces los triángulos son semejantes y en concordancia con la definición de la semejanza de triángulos, se tiene que justificar de forma empírica que los lados homólogos son proporcionales. Para ello, explora el siguiente recurso GeoGebra para que compruebes la proporcionalidad de sus lados homólogos y puedas establecer el criterio de la semejanza de triángulos Ángulo, Ángulo, Ángulo (AAA).

Geogebra

Con base en el recurso GeoGebra justificarás en forma empírica que dos triángulos son semejantes cuando sus tres ángulos homólogos son congruentes para formular el criterio de semejanza de triángulos ángulo, ángulo, ángulo (AAA).

Revisa el recurso y con base en la interacción que realices contesta las siguientes preguntas.

A partir de la interacción que realizaste con el recurso Geogebra contesta las preguntas en el recuadro:

a. ¿Cómo son los ángulos homólogos de ambos triángulos?

Congruentes

b. ¿Cómo es la razón de semejanza entre los lados homólogos en ambos triángulos?

Igual

c. Dado que los ángulos homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales, ¿cómo son los triángulos $DEF$ y $ABC$?

semejantes

En concordancia con las afirmaciones del criterio se semejanza de triángulos AAA se tiene que los ángulos homólogos son congruentes y como sus lados homólogos son proporcionales por la definición de la semejanza de triángulos se concluye que el $\Delta DEF\sim \Delta ABC$.

Cabe mencionar que la demostración de los criterios de semejanza de triángulos es empírica, ya que se realizó mediante la medida de sus lados y la proporcionalidad de los lados homólogos, así como, la medida de sus ángulos homólogos, en contraposición con la geometría deductiva, donde la demostración está basada en una cadena de razonamientos lógicos sustentados por los elementos básicos: definiciones, postulados, axiomas y teoremas como lo abordaremos más adelante.