Regla de la cadena

Las reglas de derivación son de mucha utilidad ya que simplifican el proceso de derivación; sin embargo, el uso de dichas reglas no es suficiente cuando se pretende derivar funciones compuestas. Por ejemplo, en la siguiente tabla se muestran tres funciones construidas a partir del binomio $5{x^2} + 7$; las primeras dos funciones se pueden derivar muy fácilmente utilizando las reglas de derivación revisadas anteriormente; sin embargo, ¿cómo derivarías la función $f\left( x \right) = {\left( {5{x^2} + 7} \right)^{1000}}$? Para hacerlo, se utiliza la regla de la cadena.

1 $f\left( x \right) = 5{x^2} + 7$ $f'\left( x \right) = 10x$ Utilizando las reglas 1, 3, 4 y 5
2 $f\left( x \right) = {\left( {5{x^2} + 7} \right)^2}$ $\begin{array}{l} f\left( x \right) = {\left( {5{x^2} + 7} \right)^2}\\ f\left( x \right) = 25{x^4} + 70{x^2} + 49\\ f'\left( x \right) = 100{x^3} + 140x \end{array}$ Resolviendo el binomio y utilizando las reglas 1, 3, 4 y 5. También se puede resolver considerando la derivada del producto de dos funciones.
3 $f\left( x \right) = {\left( {5{x^2} + 7} \right)^{1000}}$ $f'\left( x \right) = ?$ Esta derivada se resuelve fácilmente utilizando la regla de la cadena.

La regla de la cadena se expresa como:

Regla 8. Regla de la cadena

Si $y = f\left( u \right)$ y $u = g\left( x \right)$ son funciones derivables, entonces:

$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$ ó $\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)$

Ejemplo 1

Sea la función $f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + x} \right)^2}$, determinaremos su derivada utilizando la regla de la cadena.

Vamos a reescribir la función en términos de $y = f\left( u \right)$ y $u = g\left( x \right)$

Si consideramos que $y = {\left( {2{x^2} + x} \right)^2}$ donde $u = 2{x^2} + x$; entonces $y = {u^2}$.

Al aplicar la regla de la cadena, $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$, se tiene que:

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{du}}\left[ {{u^2}} \right] \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {2{x^2} + x} \right]\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 2u \cdot \left( {4x + 1} \right)\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 2\left( {2{x^2} + x} \right) \cdot \left( {4x + 1} \right)\\ \frac{{dy}}{{dx}} = \left( {4{x^2} + 2x} \right) \cdot \left( {4x + 1} \right)\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 16{x^3} + 8{x^2} + 4{x^2} + 2x\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 16{x^3} + 12{x^2} + 2x \end{array}$

Cabe mencionar, que en este ejemplo es posible desarrollar la expresión para $y$, es decir:

$y = {\left( {2{x^2} + x} \right)^2} = 4{x^4} + 4{x^3} + {x^2}$

En consecuencia, se puede obtener la derivada de la función mediante la regla para la suma de funciones:

$\frac{d}{{dx}}f\left( x \right) = 16{x^3} + 12{x^2} + 2x$

Observa que el resultado es el mismo con cualquiera de los dos procedimientos. Sin embargo, existen funciones donde no será posible desarrollar la función original, como en se ilustra en el siguiente ejemplo; en dichos casos será conveniente utilizar la regla de la cadena.

Ejemplo 2

Resolvamos la función $f\left( x \right) = {\left( {5{x^2} + 7} \right)^{1000}}$ utilizando la regla de la cadena; para ello, vamos a reescribirla en términos de $y = f\left( u \right)$ y $u = g\left( x \right)$.

Si consideramos que $y = {\left( {5{x^2} + 7} \right)^{1000}}$ donde $u = 5{x^2} + 7$; entonces

$y = {u^{1000}}$. Al aplicar la regla de la cadena, $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$, se tiene que:

\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{du}}\left[ {{u^{1000}}} \right] \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {5{x^2} + 7} \right]\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 1000{u^{999}} \cdot 10x\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 1000{\left( {5{x^2} + 7} \right)^{999}} \cdot 10x\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 10000x{\left( {5{x^2} + 7} \right)^{999}} \end{array}

Ejercicio de selección

Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = {\left( {3{x^4} + 5} \right)^6}$ utilizando la regla de la cadena.

Si consideramos que $f\left( x \right) = {\left( {3{x^4} + 5} \right)^6}$ donde $u = 3{x^4} + 5$;

entonces $y = {u^6}$. Al aplicar la regla de la cadena, $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$, se tiene que:

$\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{du}}\left[ {{u^6}} \right] \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {3{x^4} + 5} \right]\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 6{u^{6 - 1}} \cdot 12{x^3} = 72{x^3}{u^5}\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 72{x^3}{\left( {3{x^4} + 5} \right)^5} \end{array}$

Calcula la derivada de la función $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{6{x^2} - 5}}$ utilizando la regla de la cadena.

Si consideramos que $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{6{x^2} - 5}}$ donde $u = 6{x^2} - 5$;

entonces $y = \sqrt[3]{u} = {u^{\frac{1}{3}}}$. Al aplicar la regla de la cadena, $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}$, se tiene que:

\begin{array}{l} \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{du}}\left[ {{u^{\frac{1}{3}}}} \right] \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {6{x^2} - 5} \right]\\ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{3}{u^{\frac{1}{3} - 1}} \cdot 12x = \frac{1}{3}{u^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}}} \cdot 12x\\ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{3}{u^{ - \frac{2}{3}}} \cdot 12x\\ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{1}{3}{\left( {6{x^2} - 5} \right)^{ - \frac{2}{3}}} \cdot 12x\\ \frac{{dy}}{{dx}} = 4x{\left( {6{x^2} - 5} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\\ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{4x}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {6{x^2} - 5} \right)}^2}}}}} \end{array}